A= 4x^3+14x^2+9x -6 là số chinh phương tìm x nguyên dương để A là số chính phương 01/09/2021 Bởi Sarah A= 4x^3+14x^2+9x -6 là số chinh phương tìm x nguyên dương để A là số chính phương
Đáp án: x=2 Giải thích các bước giải: Ta có: $A=4x^3+14x^2+9x-6$ $=(x+2)(4x^2+6x-3)$ Để A là số chính phương thì $x+2=4x^2+6x-3$ (1) hoặc $x+2$ và $4x^2+6x-3$ có dạng chính phương (2) Giải (1) $\Rightarrow 4x^2+5x-5=0$ $\Delta=5^2+4.4.5=105>0 $ Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{105}}{2.4}$ (loại) hoặc $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{105}}{2.4}$ (loại) (do cả hai đều không là số nguyên dương như yêu cầu của đề) Giải (2): Ta đặt: $\left\{\begin{array}{I}x+2=a^2\\4x^2+6x-3=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x+2=a^2\\4x(x+2)-2(x+2)+1=b^2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=a^2-2\\4(a^2-2)a^2-2a^2+1=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=a^2-2\\4(a^2-2)a^2-2a^2+1=b^2(3)\end{array}\right.$ (3) $\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$ $\Rightarrow (2a^2)^2-2.2a^2.\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{21}{4}=b^2$ $\Rightarrow(2a^2-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{21}{4}=b^2$ $\Rightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$ $\Rightarrow (4a^2-5)-4b^2=21$ $\Rightarrow (4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)=1.21=3.7=21.1=7.3$ Với $\left\{\begin{array}{I}4a^2-5-2b=1\\4a^2-5+2b=21\end{array}\right.$ Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta có: $4b=20\Rightarrow b=5\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=25$ Đặt $a^2=t(t>0)\Rightarrow 4t^2-10t-24=0$ $\Rightarrow t=4$ (nhận) hoặc $t=-\dfrac{3}{2}$ (loại) $\Rightarrow a^2=t=4\Rightarrow x=a^2-2=2 $ (nhận) Với $\left\{\begin{array}{I}4a^2-5-2b=3\\4a^2-5+2b=7\end{array}\right.$ Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta có: $4b=4\Rightarrow b=1\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=1$ $\Rightarrow 2a^2(2a^2-5)=0$ $\Rightarrow a^2=0\Rightarrow x=a^2-2=-2$ (loại) Hoặc $2a^2-5=0\Rightarrow a^2=\dfrac{5}{2}\Rightarrow x=\dfrac{5}{2}-2$ (loại) Tương tự với hai trường hợp còn lại ta cũng ra nghiệm giống như trên. Vậy x=2 thì A là số chính phương. Bình luận
Đáp án:
x=2
Giải thích các bước giải:
Ta có: $A=4x^3+14x^2+9x-6$
$=(x+2)(4x^2+6x-3)$
Để A là số chính phương thì $x+2=4x^2+6x-3$ (1) hoặc $x+2$ và $4x^2+6x-3$ có dạng chính phương (2)
Giải (1) $\Rightarrow 4x^2+5x-5=0$
$\Delta=5^2+4.4.5=105>0 $
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$x_1=\dfrac{-5-\sqrt{105}}{2.4}$ (loại) hoặc $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{105}}{2.4}$ (loại) (do cả hai đều không là số nguyên dương như yêu cầu của đề)
Giải (2): Ta đặt:
$\left\{\begin{array}{I}x+2=a^2\\4x^2+6x-3=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x+2=a^2\\4x(x+2)-2(x+2)+1=b^2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=a^2-2\\4(a^2-2)a^2-2a^2+1=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=a^2-2\\4(a^2-2)a^2-2a^2+1=b^2(3)\end{array}\right.$
(3) $\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$
$\Rightarrow (2a^2)^2-2.2a^2.\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{21}{4}=b^2$
$\Rightarrow(2a^2-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{21}{4}=b^2$
$\Rightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$
$\Rightarrow (4a^2-5)-4b^2=21$
$\Rightarrow (4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)=1.21=3.7=21.1=7.3$
Với $\left\{\begin{array}{I}4a^2-5-2b=1\\4a^2-5+2b=21\end{array}\right.$
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta có: $4b=20\Rightarrow b=5\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=25$
Đặt $a^2=t(t>0)\Rightarrow 4t^2-10t-24=0$
$\Rightarrow t=4$ (nhận) hoặc $t=-\dfrac{3}{2}$ (loại)
$\Rightarrow a^2=t=4\Rightarrow x=a^2-2=2 $ (nhận)
Với $\left\{\begin{array}{I}4a^2-5-2b=3\\4a^2-5+2b=7\end{array}\right.$
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta có: $4b=4\Rightarrow b=1\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=1$
$\Rightarrow 2a^2(2a^2-5)=0$
$\Rightarrow a^2=0\Rightarrow x=a^2-2=-2$ (loại)
Hoặc $2a^2-5=0\Rightarrow a^2=\dfrac{5}{2}\Rightarrow x=\dfrac{5}{2}-2$ (loại)
Tương tự với hai trường hợp còn lại ta cũng ra nghiệm giống như trên.
Vậy x=2 thì A là số chính phương.
Đáp án:
Giải thích các bước giải: