a)4cos^5x.sinx-4sin^5x.cosx=sin^2 b)4cos^3x+3√2 sin2x=8cosx c)4cos^2x(2-6x)+16cos^2(1-3x) =13 28/09/2021 Bởi Aubrey a)4cos^5x.sinx-4sin^5x.cosx=sin^2 b)4cos^3x+3√2 sin2x=8cosx c)4cos^2x(2-6x)+16cos^2(1-3x) =13
Đáp án: a) $x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x = \arctan \left( {0,81} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x = \arctan \left( { – 1,47} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \arctan \left( { – 3,34} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ b) $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ c) $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$ và $x = – \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$ Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l}a)4{\cos ^5}x.\sin x – 4{\sin ^5}x.\cos x = {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {4\cos x\left( {{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x} \right) – \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {4\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) – \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {4\cos x.\cos 2x – \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\4\cos x.\cos 2x – \sin x = 0\end{array} \right.\end{array}$ +)TH1: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$ +)TH2: $4\cos x.\cos 2x – \sin x = 0(1)$ * Nếu $\cos x=0$ từ (1) $\to \sin x=0$ $\to \cos^2 x+\sin^2 x=0\text{ (vô lý)}$ $\to $ Loại. * Nếu $\cos x\ne 0$ $\begin{array}{l}4\cos x.\cos 2x – \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 4\cos 2x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow 4\cos 2x = \tan x\\ \Leftrightarrow 4\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = \tan x\\ \Leftrightarrow 8{\cos ^2}x – \tan x – 4 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{8}{{{{\tan }^2}x + 1}} – \tan x – 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 4{\tan ^2}x + \tan x – 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x \approx 0,81\\\tan x \approx – 1,47\\\tan x \approx – 3,34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan \left( {0,81} \right) + k\pi \left( {tm} \right)\\x = \arctan \left( { – 1,47} \right) + k\pi \left( {tm} \right)\\x = \arctan \left( { – 3,34} \right) + k\pi \left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$ Vậy phương trình có 4 họ nghiệm là: $x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x = \arctan \left( {0,81} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x = \arctan \left( { – 1,47} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \arctan \left( { – 3,34} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ $\begin{array}{l}b)4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 6\sqrt 2 \sin x.\cos x – 8\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {2{{\cos }^2}x + 3\sqrt 2 \sin x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) + 3\sqrt 2 \sin x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {2{{\sin }^2}x – 3\sqrt 2 \sin x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\left( c \right)\\\sin x = \sqrt 2 \left( l \right)\\\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( c \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ c) Sửa đề: phương trình cần giải là: $4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 16{\cos ^2}\left( {1 – 3x} \right) = 13$ $\begin{array}{l}4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 16{\cos ^2}\left( {1 – 3x} \right) = 13\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 8\left( {\cos \left( {2 – 6x} \right) + 1} \right) = 13\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 8\cos \left( {2 – 6x} \right) – 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {2 – 6x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( c \right)\\\cos \left( {2 – 6x} \right) = \dfrac{{ – 5}}{2}\left( l \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos \left( {2 – 6x} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 – 6x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2 – 6x = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\\x = – \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\end{array}$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$ và $x = – \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$ Bình luận
Đáp án: b)Ta có: 4cos^3x+3√2 sin2x=8cosx <=>4cos^3(x) + 3√2 sin(2x) – 8 cos(x) = 0 <=> 4cos^2(x) + 6√2 sin(x) – 8 = 0 <=> (4 – 4sin^2(x)) + 6√2 sin(x) – 8 = 0 <=> 4sin^2(x) – 6√2 sin(x) + 4 = 0 Đặt t = sin(x) (-1 ≤ t ≤ 1). Ta được: 4t^2 – 6√2t + 4 = 0 <=> t = √2 (loại vì t ≤ 1) hoặc x = (√2)/2 (nhận) => sin(x) = (√2)/2 = sin(pi/4) => x = pi/4 + 2kpi hoặc x = 3pi/4 + 2kpi. Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
a) $x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$;
$x = \arctan \left( {0,81} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$;
$x = \arctan \left( { – 1,47} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và
$x = \arctan \left( { – 3,34} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
b) $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$;
$x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và
$x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
c) $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$ và
$x = – \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
a)4{\cos ^5}x.\sin x – 4{\sin ^5}x.\cos x = {\sin ^2}x\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {4\cos x\left( {{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x} \right) – \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {4\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) – \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {4\cos x.\cos 2x – \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
4\cos x.\cos 2x – \sin x = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
+)TH1: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
+)TH2: $4\cos x.\cos 2x – \sin x = 0(1)$
* Nếu $\cos x=0$ từ (1) $\to \sin x=0$
$\to \cos^2 x+\sin^2 x=0\text{ (vô lý)}$ $\to $ Loại.
* Nếu $\cos x\ne 0$
$\begin{array}{l}
4\cos x.\cos 2x – \sin x = 0\\
\Leftrightarrow 4\cos 2x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\\
\Leftrightarrow 4\cos 2x = \tan x\\
\Leftrightarrow 4\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = \tan x\\
\Leftrightarrow 8{\cos ^2}x – \tan x – 4 = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{8}{{{{\tan }^2}x + 1}} – \tan x – 4 = 0\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 4{\tan ^2}x + \tan x – 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x \approx 0,81\\
\tan x \approx – 1,47\\
\tan x \approx – 3,34
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arctan \left( {0,81} \right) + k\pi \left( {tm} \right)\\
x = \arctan \left( { – 1,47} \right) + k\pi \left( {tm} \right)\\
x = \arctan \left( { – 3,34} \right) + k\pi \left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm là:
$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$;
$x = \arctan \left( {0,81} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$;
$x = \arctan \left( { – 1,47} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và
$x = \arctan \left( { – 3,34} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}
b)4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 6\sqrt 2 \sin x.\cos x – 8\cos x = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {2{{\cos }^2}x + 3\sqrt 2 \sin x – 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {2\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) + 3\sqrt 2 \sin x – 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {2{{\sin }^2}x – 3\sqrt 2 \sin x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\left( c \right)\\
\sin x = \sqrt 2 \left( l \right)\\
\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( c \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là:
$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$;
$x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và
$x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
c) Sửa đề: phương trình cần giải là:
$4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 16{\cos ^2}\left( {1 – 3x} \right) = 13$
$\begin{array}{l}
4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 16{\cos ^2}\left( {1 – 3x} \right) = 13\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 8\left( {\cos \left( {2 – 6x} \right) + 1} \right) = 13\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^2}\left( {2 – 6x} \right) + 8\cos \left( {2 – 6x} \right) – 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {2 – 6x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( c \right)\\
\cos \left( {2 – 6x} \right) = \dfrac{{ – 5}}{2}\left( l \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos \left( {2 – 6x} \right) = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 – 6x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
2 – 6x = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\\
x = – \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là:
$x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$ và
$x = – \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{1}{3} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$
Đáp án:
b)Ta có: 4cos^3x+3√2 sin2x=8cosx
<=>4cos^3(x) + 3√2 sin(2x) – 8 cos(x) = 0
<=> 4cos^2(x) + 6√2 sin(x) – 8 = 0
<=> (4 – 4sin^2(x)) + 6√2 sin(x) – 8 = 0
<=> 4sin^2(x) – 6√2 sin(x) + 4 = 0
Đặt t = sin(x) (-1 ≤ t ≤ 1). Ta được:
4t^2 – 6√2t + 4 = 0
<=> t = √2 (loại vì t ≤ 1) hoặc x = (√2)/2 (nhận)
=> sin(x) = (√2)/2 = sin(pi/4)
=> x = pi/4 + 2kpi hoặc x = 3pi/4 + 2kpi.
Giải thích các bước giải: