a) 7 mũ 2018 + 7 mũ 2019 + 7 mũ 2020 vs đk chia hết cho 57
b) 5 mũ 100 + 5 mũ 98 chia hết cho 13
c) n mũ 2 ( n + 1) + 2n ( n + 1) chia hết cho 6 và n phải thuộc z
d) ( 2n – 1) tất cả mũ 3 – ( 2n – 1) chia hết cho 8 với n thuộc z
a) 7 mũ 2018 + 7 mũ 2019 + 7 mũ 2020 vs đk chia hết cho 57 b) 5 mũ 100 + 5 mũ 98 chia hết cho 13 c) n mũ 2 ( n + 1) + 2n ( n + 1) chia hết cho 6 và n
By Kylie
$$\eqalign{
& a)\,\,{7^{2018}} + {7^{2019}} + {7^{2020}} \cr
& = {7^{2018}}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) = {7^{2018}}.57\,\, \vdots \,\,57 \cr
& b)\,\,{5^{100}} + {5^{98}} \cr
& = {5^{98}}\left( {{5^2} + 1} \right) = {5^{98}}.26 \cr
& = {5^{98}}.2.13\,\, \vdots \,\,13 \cr
& c)\,\,Chua\,\,ro\,\,de\,\,bai \cr
& d)\,{\left( {2n – 1} \right)^3} – \left( {2n – 1} \right) \cr
& = \left( {2n – 1} \right)\left[ {{{\left( {2n – 1} \right)}^2} – 1} \right] \cr
& = \left( {2n – 1} \right)\left( {2n – 1 – 1} \right)\left( {2n – 1 + 1} \right) \cr
& = 2n\left( {2n – 1} \right)\left( {2n – 2} \right) \cr
& = 4\left( {n – 1} \right)n\left( {2n – 1} \right) \cr
& \left( {n – 1} \right)n\,\, \vdots \,\,2\,\,\forall n \Rightarrow 4\left( {n – 1} \right)n\,\,\, \vdots \,\,8\,\,\forall n \cr
& \Rightarrow 4\left( {n – 1} \right)n\left( {2n – 1} \right)\,\, \vdots \,\,8\,\,\forall n \cr} $$
c) Ta có
$n^2(n+1) + 2n(n+1) = (n+1)(n^2 + 2n) = (n+1).n(n+2)$
Ta thấy rằng đây là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3.
Ko mất tquat, giả sử $n$ chia hết cho 2 và $n+1$ chia hết cho 3. Khi đó
$n = 2k$ và $n+1 = 3m$.
Ta xét
$n(n+1)(n+2) = 2k . 3m (n+2) = 6km(n+2)$
Vậy tích này chia hết cho 6. Do đó
$n^2(n+1) + 2n(n+1)$ chia hết cho 6.