`a/(a+1)+c/(c+1)+b/(b+1) ≥2` CM `abc ≥8`

0 bình luận về “`a/(a+1)+c/(c+1)+b/(b+1) ≥2` CM `abc ≥8`”

1. Bổ sung điều kiện $a,b,c$ dương

   Ta có:
   $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\ge2$
   $\to \dfrac{a}{a+1}\ge 2-\dfrac{b}{b+1}-\dfrac{c}{c+1}$
   $\to \dfrac{a}{a+1}\ge \left(1-\dfrac{b}{b+1}\right)+\left(1-\dfrac{c}{c+1}\right)$
   $\to \dfrac{a}{a+1}\ge \dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$

   Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

   $\dfrac{a}{a+1}\ge \dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge 2\sqrt{\dfrac1{(b+1)(c+1)}} \ \ (1)$

   Hoàn toàn tương tự, ta có:
   $\dfrac{b}{b+1}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{(a+1)(c+1)}} \ \ (2)$
   $\dfrac{c}{c+1}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}} \ \ (3)$

   Nhân vế với vế của $(1), \ (2)$ và $(3)$, ta có:
   $\dfrac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}\ge 8\sqrt{\dfrac1{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}}=\dfrac{8}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

   $\to abc\ge8$  

   Dấu $=$ xảy ra $↔a=b=c=2$

   Bình luận

2. Đáp án:

   `↓↓`

   Giải thích các bước giải:

   Có `a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)≥2`

   `⇒a/(a+1)≥1-b/(b+1)+1-c/(c+1)`

   `⇒a/(a+1)≥1/(b+1)+1/(c+1)`

   `⇒a/(a+1)≥√4/((b+1).(c+1))`

    Tương tự

   `b/(b+1)≥√4/((c+1).(a+1))`

   `c/(a+1)≥√4/((c+1).(b+1))`

   Nhân vế

   `⇒a.b.c≥8`

   Học tốt

   Bình luận