(a-b) ∧2 +(b-c) ∧2 +(c-a) ∧2 = 4(a ∧2 +b ∧2 +c ∧2 – ab – bc -ca)
Chứng minh rằng: a=b=c
(a-b) ∧2 +(b-c) ∧2 +(c-a) ∧2 = 4(a ∧2 +b ∧2 +c ∧2 – ab – bc -ca) Chứng minh rằng: a=b=c
By Charlie
By Charlie
(a-b) ∧2 +(b-c) ∧2 +(c-a) ∧2 = 4(a ∧2 +b ∧2 +c ∧2 – ab – bc -ca)
Chứng minh rằng: a=b=c
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a) ^2 = 4(a^2 +b^2 +c ^2 – ab – bc -ca)`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-ca+a^2=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
vì `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
dấu = xảy ra khi
$\begin{cases}a=b\\b=c=a\\\end{cases}$
`=>a=b=c(ĐPCM)`
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=4(a^2+b^2+c^2-ab-ac-ca)$
$↔ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)$
$↔ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$↔ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}(a-b)^2≥0\\(b-c)^2≥0\\(c-a)^2≥0\end{array} \right.$
nên $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{array} \right. ↔ a=b=c$