(a+b)(b+c)(c+a) >=8/9(a+b+c)(ab+bc+ca) nhanh cái

0 bình luận về “(a+b)(b+c)(c+a) >=8/9(a+b+c)(ab+bc+ca) nhanh cái”

1. Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:

   $a+b\geq2\sqrt[]{ab}$ , dấu bằng xảy ra khi a = b.

   $b+c\geq2\sqrt[]{bc}$ , dấu bằng xảy ra khi b = c.

   $a+c\geq2\sqrt[]{ac}$ , dấu bằng xảy ra khi a = c.

   $⇒ (a+b)(b+c)(c+a)\geq2\sqrt[]{bc}.2\sqrt[]{ab}.2\sqrt[]{ac}=8abc$ 

   Lại có: 

   $(a+b)(b+c)(c+a)+abc= (a+b+c)(ab+bc+ca)\leq(\frac{1}{8}+1) (a+b)(b+c)(c+a)$

   $⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq\frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$

   $⇔(a+b)(b+c)(c+a)\geq\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)(đpcm)$

   Dấu ”=” xảy ra khi $a=b=c$.

   Vậy ta có BĐT cần Chứng minh.

2. Ta có :

   `(a+b+c)(ab+bc+ca)`

   `⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+abc`

   `⇔(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc+abc`

   `⇔(a+b)(ab+bc+ca)+abc+c(bc+ca)-abc +abc`

   `⇔(a+b)(ab+bc+ca)+c^2(b+a) +abc`

   `⇔(ab+bc+ca+c^2)(a+b) +abc`

   `⇔[b(a+c)+c(a+c)](a+b) +abc`

   `⇔(b+c)(a+c)(a+b) +abc`

   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

   `a+b+c≥3`$\sqrt[3]{abc}$ 

   `ab+ac+bc≥3`$\sqrt[3]{ab.bc.ca}=\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ 

   `⇒(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3`$\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ 

   `⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9`$\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}$`=9abc`

   `⇔(a+b)(b+c)(a+c)+abc≥9abc`

   `⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc`

   `⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9abc+8/9(a+b)(b+c)(a+c)`

   `⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9 [abc+(a+b)(b+c)(a+c)]`

   `⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)`