Toán `a;b;c≥ 0` `ab+bc+ac=3` tìm `maxP=a/(1+2b^3)+b/(1+2c^3)+c/(1+2a^3)` 23/07/2021 By Alice `a;b;c≥ 0` `ab+bc+ac=3` tìm `maxP=a/(1+2b^3)+b/(1+2c^3)+c/(1+2a^3)`
Đáp án: Áp dụng `AM-GM` có `a/(1 + 2b^3) = a – (2ab^3)/(1 + 2b^3) = a – (2ab^3)/(1 + b^3 + b^3) >= a – (2ab^3)/(3b^2) = a – (2ab)/3` chứng minh tương tự `-> b/(1 + 2c^3) >= b – (2bc)/3 ; c/(1 + 2a^3) >= c – (2ac)/3` công lại ta được `P >= a + b + c – (2(ab + bc + ca))/3 ≥ \sqrt{3(ab + bc + ca)} – (2(ab + bc + ca))/3 >= \sqrt{3.3} – (2.3)/3 = 1` Vậy $GTNN$ của `P = 1 ↔ a = b = c = 1` Giải thích các bước giải: Trả lời
ta có : `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0` `⇔2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)≥0` `⇔a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac` `⇔(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)=3.3=9` `⇔a+b+c≥3` mà : `(a)/(1+2b^3)=a-(2ab^3)/(2b^3+1)≥a-(2ab^3)/(3b^2)=a-(2ab)/3` tương tự `⇒(b)/(1+2c^3)≥b-(2bc)/3` `⇒(c)/(1+2a^3)≥c-(2ac)/3` `⇒P≥a+b+c-(2(ab+bc+ac))/3` `⇔P≥3-(2.3)/3` `⇔P≥1` `”=”`xẩy ra khi : `a=b=c=1` Trả lời
Đáp án:
Áp dụng `AM-GM` có
`a/(1 + 2b^3) = a – (2ab^3)/(1 + 2b^3) = a – (2ab^3)/(1 + b^3 + b^3) >= a – (2ab^3)/(3b^2) = a – (2ab)/3`
chứng minh tương tự
`-> b/(1 + 2c^3) >= b – (2bc)/3 ; c/(1 + 2a^3) >= c – (2ac)/3`
công lại ta được
`P >= a + b + c – (2(ab + bc + ca))/3 ≥ \sqrt{3(ab + bc + ca)} – (2(ab + bc + ca))/3 >= \sqrt{3.3} – (2.3)/3 = 1`
Vậy $GTNN$ của `P = 1 ↔ a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải:
ta có :
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0`
`⇔2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)≥0`
`⇔a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`
`⇔(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)=3.3=9`
`⇔a+b+c≥3`
mà :
`(a)/(1+2b^3)=a-(2ab^3)/(2b^3+1)≥a-(2ab^3)/(3b^2)=a-(2ab)/3`
tương tự
`⇒(b)/(1+2c^3)≥b-(2bc)/3`
`⇒(c)/(1+2a^3)≥c-(2ac)/3`
`⇒P≥a+b+c-(2(ab+bc+ac))/3`
`⇔P≥3-(2.3)/3`
`⇔P≥1`
`”=”`xẩy ra khi :
`a=b=c=1`