a,cho A=3 +3^2+3^3+…….+3^60 chứng tỏ A chia hết cho 13 b,cho B=5+5^2+5^3+…….+5^2012 chứng tỏ B chia hết cho 31 , chia hết cho 150

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

a,

\(\begin{array}{l}
A = 3 + {3^2} + {3^3} + ….. + {3^{60}}\\
 = \left( {3 + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6}} \right) + ….. + \left( {{3^{58}} + {3^{59}} + {3^{60}}} \right)\\
 = 3\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^4}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ….. + {3^{58}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\\
 = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {3 + {3^4} + {3^7} + …. + {3^{58}}} \right)\\
 = 13\left( {3 + {3^4} + {3^7} + ….. + {3^{58}}} \right) \vdots 13
\end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l}
B = 5 + {5^2} + {5^3} + …. + {5^{2012}}\\
 = \left( {5 + {5^2} + {5^3}} \right) + \left( {{5^4} + {5^5} + {5^6}} \right) + …. + \left( {{5^{2010}} + {5^{2011}} + {5^{2012}}} \right)\\
 = 5\left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + {5^4}\left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + ….. + {5^{2010}}\left( {1 + 5 + {5^2}} \right)\\
 = \left( {1 + 5 + {5^2}} \right)\left( {5 + {5^4} + {5^7} + …… + {5^{2010}}} \right)\\
 = 31\left( {5 + {5^4} + {5^7} + …… + {5^{2010}}} \right) \vdots 31
\end{array}\)

Suy ra B chia hết cho 31

\({5^2} \vdots 25;\,\,\,{5^3} \vdots 25;\,\,\,…..;{5^{2012}} \vdots 25\)

Mà 5 không chia hết cho 25 nên B không chia hết cho 25

Mặt khác 150=25.6 nên B không chia hết cho 150