Toán a) Chứng minh( x^2+y^2+5)/2 bé hơn hoặc bằng x+2y 31/07/2021 By Adeline a) Chứng minh( x^2+y^2+5)/2 bé hơn hoặc bằng x+2y
Đáp án: Bất đẳng thức được chứng minh. Giải thích các bước giải: `(x^2+y^2+5)/2 >= x+2y` `<=> (x^2+y^2+5)/2 . 2 >= (x+2y).2` `<=> x^2+y^2+5 >= 2x+4y` `<=> x^2+y^2+5-2x+4y >= 0` `<=> (x^2-2x+1)+(y^2+4y+4) >= 0` `<=> (x-1)^2+(y+2)^2 >= 0 \ \ text{(Luôn đúng)}` Dấu “=” xảy ra khi : `x=1;y=-2` Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Trả lời
\( \dfrac{x^2+y^2+5}{2}\ge x+2y\\↔\dfrac{x^2+y^2+5}{2}-x-2y\ge 0\\↔\dfrac{x^2+y^2-2x-4y+5}{2}\ge 0\\↔\dfrac{(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)}{2}\ge 0\\↔\dfrac{(x-1)^2+(y-2)^2}{2}\ge 0\) Vì \(\begin{cases}(x-1)^2\ge 0\\(y-2)^2\ge 0\end{cases}\\→(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0\\→\dfrac{(x-1)^2+(y-2)^2}{2}\ge 0\) Trả lời
Đáp án:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Giải thích các bước giải:
`(x^2+y^2+5)/2 >= x+2y`
`<=> (x^2+y^2+5)/2 . 2 >= (x+2y).2`
`<=> x^2+y^2+5 >= 2x+4y`
`<=> x^2+y^2+5-2x+4y >= 0`
`<=> (x^2-2x+1)+(y^2+4y+4) >= 0`
`<=> (x-1)^2+(y+2)^2 >= 0 \ \ text{(Luôn đúng)}`
Dấu “=” xảy ra khi : `x=1;y=-2`
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
\( \dfrac{x^2+y^2+5}{2}\ge x+2y\\↔\dfrac{x^2+y^2+5}{2}-x-2y\ge 0\\↔\dfrac{x^2+y^2-2x-4y+5}{2}\ge 0\\↔\dfrac{(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)}{2}\ge 0\\↔\dfrac{(x-1)^2+(y-2)^2}{2}\ge 0\)
Vì \(\begin{cases}(x-1)^2\ge 0\\(y-2)^2\ge 0\end{cases}\\→(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0\\→\dfrac{(x-1)^2+(y-2)^2}{2}\ge 0\)