a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
$ = a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$
$ = a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$ = a^2.(c^2+d^2)+b^2.(c^2+d^2)$
$ = (c^2+d^2).(a^2+b^2)$
b) Ta có $(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2).(c^2+d^2)$
$⇔a^2c^2+2abcd+b^2d^2≤ a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$⇔ a^2d^2-2abcd+b^2c^2 ≥ 0 $
$⇔(ad-bc)^2 ≥ 0 $ ( Đúng )
Dấu “=” xảy ra $⇔ad=bc$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
a,
\(\begin{array}{l}
{\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad – bc} \right)^2}\\
= {a^2}{c^2} + 2acbd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} – 2adbc + {b^2}{c^2}\\
= {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2}\\
= \left( {{a^2}{c^2} + {a^2}{d^2}} \right) + \left( {{b^2}{d^2} + {b^2}{c^2}} \right)\\
= {a^2}\left( {{c^2} + {d^2}} \right) + {b^2}\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\\
= \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)
\end{array}\)
b,
\(\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) – {\left( {ac + bd} \right)^2}\\
= {a^2}{c^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{d^2} – {a^2}{c^2} – 2acbd – {b^2}{d^2}\\
= {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} – 2acbd\\
= {\left( {ad} \right)^2} – 2ad.bc + {\left( {bc} \right)^2}\\
= {\left( {ad – bc} \right)^2} \ge 0\\
\Rightarrow {\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)
\end{array}\)