a) Chứng minh rằng mỗi số và lũy thừa bậc 3 của chúng có cùng số dư trong phép chia cho 3.
b) Chứng minh rằng tổng của 2 số tự nhiên chia hết cho 6 khi và chỉ tổng lập phương của chúng chia hết cho 6.
a) Chứng minh rằng mỗi số và lũy thừa bậc 3 của chúng có cùng số dư trong phép chia cho 3. b) Chứng minh rằng tổng của 2 số tự nhiên chia hết cho 6 kh
By Aaliyah
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
+) Nếu a chia hết cho 3 thì $a^{3}$ cũng chia hết cho 3
+) Nếu a chia 3 dư 1 thì a có dạng 3k+1
Khi đó: $(3k+1)^{3}$ =(3k+1)(3k+1)(3k+1)=27 $k^{3}$+ 27$k^{2}$+9k+1 chia cho 3 dư 1
+) Nếu a chia 3 dư 2 thì a có dạng 3k+2
Khi đó: $(3k+2)^{3}$ =(3k+2)(3k+2)(3k+2)=27 $k^{3}$+54$k^{2}$+36k+8 chia cho 3 dư 2
Vậy mỗi số và lũy thừa bậc 3 của chúng có cùng số dư trong phép chia cho 3.
b) a+b chia hết cho 6.
Xét hiệu ( $a^{3}$ +$b^{3}$ -(a+b)
=a($a^{2}$ -1)+b($b^{2}$-1)
=a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1)
Vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1) chia hết cho 6
Suy ra, để a+b chia hết cho 6 thì $a^{3}$ +$b^{3}$ cũng phải chia hết cho 6