a) Chứng minh với x,y là các số dương thì: x^2/y^2 + y^2/x^2 +x/y +y/x -4 >=0 b) Chứng minh với x,y là các số khác 0

a) Chứng minh với x,y là các số dương thì:
x^2/y^2 + y^2/x^2 +x/y +y/x -4 >=0
b) Chứng minh với x,y là các số khác 0 thì:
x^2/y^2 + y^2/x^2 -3( x/y + y/x) +4 >=0

0 bình luận về “a) Chứng minh với x,y là các số dương thì: x^2/y^2 + y^2/x^2 +x/y +y/x -4 >=0 b) Chứng minh với x,y là các số khác 0”

  1. Giải thích các bước giải:

    a.Ta có:

    $A=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-4$

    $\to A=\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)-4$

    $\to A\ge 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y^2}\cdot\dfrac{y^2}{x^2}}+2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}-4$
    $\to A\ge 2+2-4$

    $\to A\ge 0$

    Dấu = xảy ra khi $x=y>0$

    b.Ta có:
    $B=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4$

    $\to B=\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2$

    $\to B=\dfrac{x^2}{y^2}+2\cdot\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2}-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2$

    $\to B=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2$

    $\to B=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-2\cdot \left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\cdot\dfrac32+\dfrac94-\dfrac14$

    $\to B=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-\dfrac32\right)^2-\dfrac14$

    Vì không có điều  kiện của $x,y$ nên không thể kết luận $B\ge 0$

    Bình luận

Viết một bình luận