a) Giải phương trình:
$\frac{1}{x^2-3x+3}$ + $\frac{2}{x^2-3x+4}$ = $\frac{6}{x^2-3x+5}$
b) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau:
9$x^{2}$ + $y^{2}$ + 2$z^{2}$ – 18x + 4z – 6y + 20 = 0
a) Giải phương trình:
$\frac{1}{x^2-3x+3}$ + $\frac{2}{x^2-3x+4}$ = $\frac{6}{x^2-3x+5}$
b) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau:
9$x^{2}$ + $y^{2}$ + 2$z^{2}$ – 18x + 4z – 6y + 20 = 0
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có
$\dfrac{1}{x^2 – 3x + 3} + \dfrac{2}{x^2 – 3x + 4} = \dfrac{6}{x^2 – 3x + 5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2 – 3x + 3}-1 + \dfrac{2}{x^2 – 3x + 4}-1 = \dfrac{6}{x^2 – 3x + 5}-2$
$\Leftrightarrow \dfrac{1 – x^2 + 3x – 3}{x^2 – 3x + 3} + \dfrac{2 – x^2 + 3x – 4}{x^2 – 3x + 4} = 2 . \dfrac{3 – x^2 +3x – 5}{x^2 – 3x + 5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 3x + 3} + \dfrac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 3x + 4} = 2 . \dfrac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 3x + 5}$
Vậy ta có $x^2 – 3x + 2 = 0$ hoặc
$\dfrac{1}{x^2 – 3x + 3} + \dfrac{1}{x^2 – 3x + 4} = \dfrac{2}{x^2 – 3x + 5}$
TH1: $x^2 – 3x + 2 = 0$
Ptrinh này tương đương vs
$(x-1)(x-2) = 0$
Vậy $x = 1$ hoặc $x = 2$.
TH2: $\dfrac{1}{x^2 – 3x + 3} + \dfrac{1}{x^2 – 3x + 4} = \dfrac{2}{x^2 – 3x + 5}$
Ta có $x^2 – 3x +a > 0$ với mọi $a \geq 3$. Ta có
$x^2 – 3x + 3 < x^2 – 3x + 5$ và $x^2 – 3x + 4 < x^2 – 3x + 5$ với mọi $x$
suy ra
$\dfrac{1}{x^2 – 3x + 3} > \dfrac{1}{x^2 – 3x + 5}$
và
$\dfrac{1}{x^2 – 3x + 4} > \dfrac{1}{x^2 – 3x + 5}$
Do đó, cộng vế theo vế ta được
$VT > VP$.
Vậy ptrinh này vô nghiệm
Vậy tập nghiệm $S = \{1, 2\}$.
b) Ta có
$9x^2 + y^2 + 2z^2 – 18x – 6y + 4z + 20 = 0$
$\Leftrightarrow (9x^2 – 18x + 9) + (y^2 – 6y + 9) + (2z^2 + 4z + 2) = 0$
$\Leftrightarrow 9(x-1)^2 + (y-3)^2 + 2(z+1)^2 = 0$
Do ta có
$(x-1)^2 \geq 0, (y-3)^2 \geq 0, (z + 1)^2 \geq 0$
nên $VT \geq 0$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x – 1 = y – 3 = z + 1 = 0$ hay $z = 1, y = 3, z = -1$.
Vậy $(x,y,z) = (1, 3, -1)$.