a)giải phương trình nghiệm nguyên y^3=x^3+x^2+x+1 b)tìm GTLN của biểu thức P=x/(x+a)^2 trong đó a lớn hơn 0 cho trước x là số thực thay đổi(x khác -a)

a)

Xét hiệu : `y^3-x^3`

`=x^3+x^2+x+1-x^3`

`=x^2+x+1=x^2+x+1/4+3/4`

`=(x+1/2)^2+3/4 > 0∀x`
⇒`y^3-x^3>0`

⇒` y^3>x^3` (1)
Xét hiệu : `y^3-(x+2)^3`

`x^3+x^2+x+1-x^3-6x^2-12x-8`

`= -5x^2-11x-7`

`=-(5x^2+11x+7)`
`= -(5/4)[(4x^2+44/5 x + 28/5]`
`=-(5/4)[(2x)^2+2.(11/5).2x +(121/25)+(19/25)]    `
`=-(5/4)[(2x+11/5)^2+19/25]   `       
`=-(5/4).(2x+11/5)^2 +19/20<0∀x`

⇒ `y^3-(x+2)^3 <0`
⇒ `y^3 < (x+2)^3`  (2)
Từ (1) và (2) ⇒` x^3<y^3<(x+2)^3`

mà  `x,y` nguyên 

⇒`y^3 =(x+1)^3  `
⇒ `y = x+1`
Thay `y = x+1` vào phương trình : `x^3 + x^2 + x + 1 = y^3`
`x^3+x^2+x+1=(x+1)^3`

⇔`x^3+x^2+x+1=x^3+3x^2+3x+1`

⇔`2x^2+2x=0`

⇔`x^2+x=0`

⇔`x(x+1)=0`

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-1\end{array} \right.\) 

⇒\(\left[ \begin{array}{l}y=0+0+0+1\\y=-1+1-1+1\end{array} \right.\) 

⇒\(\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=0\end{array} \right.\)

⇒`(x;y)=(0;1);(-1;0)`

b)

`P=x/[(x+a)^2]`

`P=x/[(x+a)^2]-1/(4a)+1/(4a)`

`P=(4ax-x^2-2ax-a^2)/[4a(x+a)^2]+1/(4a)`

`P=[-(x-a)^2]/[4a(x+a)^2]+1/(4a)`

Ta có :` (x±a)^2 ≥ 0 ∀ x `

mà `a > 0 `

`⇒ [(x-a)^2]/[4a(x+a)^2] ≥ 0 ∀ x`

`⇔[-(x-a)^2]/[4a(x+a)^2] ≤ 0 ∀ x `

`⇔[-(x-a)^2]/[4a(x+a)^2]+1/(4a) ≤ 1/(4a) ∀ x`

Vậy `Max_{P}=1/(4a)` đạt khi `x=a`