A=n^4-4n ³-4n ²+16n phần 16 (với n là số chẵn) CM A chia hết cho 24

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $n^4-4n^3-4n^2+16n$

$=n^3(n-4)-4n(n-4)$

$=n(n-4)(n^2-4)$

$=n(n-4)(n-2)(n+2)$ $(1)$

$\text{Vì n là số chẵn nên đặt: $n=2k$}$

$(1)=2k(2k-4)(2k-2)(2k+2)$

$=2k.2(k-2).2(k-1).2(k+1)$

$=16k(k-1)(k+1)(k-2)$

$⇒ A=\dfrac{n^4-4n^3-4n^2+16n}{16}$

$=\dfrac{16k(k-1)(k+1)(k-2)}{16}$

$=k(k-1)(k+1)(k-2)$

$\text{Do $k(k-1)(k+1)(k-2) \vdots 4$ (4 số tự nhiên liên tiếp)}$

$\text{$k(k-1)(k+1) \vdots 3$ (3 số tự nhiên liên tiếp)}$

$\text{và $k(k-1) \vdots 2$ (2 số tự nhiên liên tiếp)}$

$⇒ A \vdots 4.3.2=24$ $\text{(ĐPCM)}$