a) Phân tích đa thức thành nhân tử : (x+1).(x+2).(x+3).(x+4) – 3
b) Cho x , y > 0 . chứng minh rằng : 1/x + 1/y > hoặc = 4/ x+y
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : (x+1).(x+2).(x+3).(x+4) – 3
b) Cho x , y > 0 . chứng minh rằng : 1/x + 1/y > hoặc = 4/ x+y
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
a,\\
\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) – 3\\
= \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] – 3\\
= \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) – 3\\
= \left[ {\left( {{x^2} + 5x + 5} \right) – 1} \right]\left[ {\left( {{x^2} + 5x + 5} \right) + 1} \right] – 3\\
= {\left( {{x^2} + 5x + 5} \right)^2} – 1 – 3\\
= {\left( {{x^2} + 5x + 5} \right)^2} – {2^2}\\
= \left( {{x^2} + 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 7} \right)
\end{array}\]
b,
\[\begin{array}{l}
{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy \ge 4xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}
\end{array}\]