a, Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn bất phương trình: (n+2)² – (x-3)(n+3) ≤ 40
b, Chứng minh bất đẳng thức:
A=(a+b)( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq$ 4
B=
$\frac{a+b}{c}$ + $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{c+a}{b}$ $\geq$ 6 (a, b, c > 0)
a, Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn bất phương trình: (n+2)² – (x-3)(n+3) ≤ 40
b, Chứng minh bất đẳng thức:
A=(a+b)( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq$ 4
B=
$\frac{a+b}{c}$ + $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{c+a}{b}$ $\geq$ 6 (a, b, c > 0)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, (n+2)²-(n-3)(n+3)≤40
⇔n²+4n+4-n²+9≤40
⇔4n+13≤40
⇔4n≤27
⇔n≤27/4
mà n ∈ N ⇒ n ∈ { 0,1,2,3,4,5 }
b, Có a+b≥2√ab ( theo BĐT Cô si ) (1)
1/a+1/b ≥ 2√(1/a×1/b) = 2√1/ab ( theo BĐT Cô si ) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (a+b)( 1/a+1/b) ≥ 2√ab×2√1/ab= 4
⇒A≥4
B=a+b/c + b+c/a + c+a/b
⇔B+3= (a+b/c + b+c/a + c+a/b)+3
⇔B+3=(a+b/c+1) + (b+c/a+1) + (c+a/b+1)
⇔B+3=a+b+c/c + b+c+a/a + c+a+b/b
⇔B+3= (a+b+c) (1/a+1/b+1/c)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
a+b+c≥3∛abc (1)
1/a+1/b+1/c≥3∛1/a×1/b×1/c (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 3∛abc × 3∛1/a×1/b×1/c
⇔(a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 9∛abc×1/a×1/b×1/c
⇔(a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 9∛abc/abc
⇔(a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 9∛1
⇔B+3≥9
⇔B≥6
.