a, Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn bất phương trình: (n+2)² – (x-3)(n+3) ≤ 40 b, Chứng minh bất đẳng thức: A=(a+b)( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a, (n+2)²-(n-3)(n+3)≤40

⇔n²+4n+4-n²+9≤40

⇔4n+13≤40

⇔4n≤27

⇔n≤27/4

mà n ∈ N ⇒ n ∈ { 0,1,2,3,4,5 }

b, Có a+b≥2√ab ( theo BĐT Cô si ) (1)

1/a+1/b ≥ 2√(1/a×1/b) = 2√1/ab ( theo BĐT Cô si ) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ (a+b)( 1/a+1/b) ≥ 2√ab×2√1/ab= 4 

⇒A≥4

B=a+b/c + b+c/a + c+a/b

⇔B+3= (a+b/c + b+c/a + c+a/b)+3

⇔B+3=(a+b/c+1) + (b+c/a+1) + (c+a/b+1)

⇔B+3=a+b+c/c + b+c+a/a + c+a+b/b

⇔B+3= (a+b+c) (1/a+1/b+1/c)

Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

a+b+c≥3∛abc (1)

1/a+1/b+1/c≥3∛1/a×1/b×1/c (2)

Từ (1) và (2) ⇒ (a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 3∛abc × 3∛1/a×1/b×1/c

⇔(a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 9∛abc×1/a×1/b×1/c

⇔(a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 9∛abc/abc

⇔(a+b+c) (1/a+1/b+1/c)≥ 9∛1

⇔B+3≥9

⇔B≥6