a)tìm cặp số tự nhiên x,y biết (x-2)(y-3)=5
b)cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.chứng minh(p-1)(p+1)chia hết cho 24
a)tìm cặp số tự nhiên x,y biết (x-2)(y-3)=5
b)cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.chứng minh(p-1)(p+1)chia hết cho 24
Đáp án:
a) \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {3;8} \right);\left( {7;4} \right)} \right\}\).
Giải thích các bước giải:
a) \(\left( {x – 2} \right)\left( {y – 3} \right) = 5\)
\( \Rightarrow x – 2 \in U\left( 5 \right) = \left\{ {1;5} \right\}\).
Th1:
\(\begin{array}{l}x – 2 = 1 \Rightarrow x = 3\\y – 3 = 5 \Rightarrow y = 8\end{array}\)
Th2:
\(\begin{array}{l}x – 2 = 5 \Rightarrow x = 7\\y – 3 = 1 \Rightarrow y = 4\end{array}\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {3;8} \right);\left( {7;4} \right)} \right\}\).
b) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
\( \Rightarrow p\) lẻ \( \Rightarrow p – 1\) và \(p + 1\) là 2 số chẵn liên tiếp.
\( \Rightarrow \left( {p – 1} \right)\left( {p + 1} \right)\,\, \vdots \,\,8\) (1).
TH1: \(p = 3k + 1\,\,\left( {k \in {Z^ + }} \right)\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {p – 1} \right)\left( {p + 1} \right)\\ = \left( {3k + 1 – 1} \right)\left( {3k + 1 + 1} \right)\\ = 3k\left( {3k + 2} \right)\,\, \vdots \,\,3\end{array}\)
TH2: \(p = 3k + 2\,\,\left( {k \in {Z^ + }} \right)\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {p – 1} \right)\left( {p + 1} \right)\\ = \left( {3k + 2 – 1} \right)\left( {3k + 2 + 1} \right)\\ = 3\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( {p – 1} \right)\left( {p + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\,\,\forall p > 3\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(\left( {p – 1} \right)\left( {p + 1} \right)\,\, \vdots \,\,24\) với mọi SNT p lớn hơn 3.