a, Tìm số nguyên dương n để tổng sau là số chính phương: n^4+n^3+n^2+n+1 b, Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a^2+b^2+c^2=3 chứng

0 bình luận về “a, Tìm số nguyên dương n để tổng sau là số chính phương: n^4+n^3+n^2+n+1 b, Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a^2+b^2+c^2=3 chứng”

1. Đáp án: a.$n=3$

   Giải thích các bước giải:

   a.Đặt $y^2=n^4+n^3+n^2+n+1, y\in N$

   $\to 4y^2=4n^4+4n^3+4n^2+4n+4$

   $\to 4y^2-(2n^2+n)^2=(4n^4+4n^3+4n^2+4n+4)-(4n^4+4n^3+n^2)=3n^2+4n+4>0$

   $\to 4y^2>(2n^2+n)^2$

   Mà $4y^2-(2n^2+n+1)^2=(4n^4+4n^3+4n^2+4n+4)-(2n^2+n+1)^2$

   $\to 4y^2-(2n^2+n+1)^2=-n^2+2n+3$

   $\to 4y^2-(2n^2+n+1)^2=-(n-1)^2+4<0$ khi $n> 3$

   $\to 4y^2<(2n^2+n+1)^2$

   $+) n=1,2,3$ thay vào $y^2=n^4+n^3+n^2+n+1\to n=3$

   $+) n>3\to (2n^2+n)^2<4y^2<(2n^2+n+1)^2$

   Không tồn tại y

   b.Đặt $\dfrac{ab}{c}=x, \dfrac{bc}{a}=y,\dfrac{ca}{b}=z$

   $\to a^2=xz ,b^2=xy, c^2=yz$

   $\to xy+yz+zx=3$

   $\to$Cần chứng minh $x+y+z\ge 3$

   Thật vậy
   $x+y+z$

   $=\sqrt{(x+y+z)^2}$

   $\ge \sqrt{3(xy+yz+zx)^2}$

   $\ge 3$

   Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$
   $\to a=b=c=1$

   Bình luận