a. tìm số tự nhiên n biết :1/3 + 1/6 + 1/10 + …+2/n(n+1) = 1999/2001
b. tím các giá trị n thuộc N để A= 2n+5/3n+1 có giá trị số tự nhiên
a. tìm số tự nhiên n biết :1/3 + 1/6 + 1/10 + …+2/n(n+1) = 1999/2001 b. tím các giá trị n thuộc N để A= 2n+5/3n+1 có giá trị số tự nhiên
By Isabelle
a)
Đặt A = 1/3+1/6+1/10+…+2/x(x+1)
⇒ 1/2A= 1/3.2+1/6.2+1/10.2+…+2/x(x+1)2
⇒ 1/2A= 1/6+1/12+1/20+…+1/x(x+1)
⇒ 1/2A= 1/2.3+1/3.4+1/4.5+…+1/x(x+1)
⇒ 1/2A= 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+…+1/x-1/x+1
⇒ 1/2A= 1/2-1/x+1
⇒ A= (1/2-1/x+1)/1/2
⇒ A= 1-2/x+1
Mà `A=1999/2001`
`⇒ 1-2/(x+1)= 1999/2001`
`⇒ 2/(x+1)= 1- 1999/2001`
`⇒ 2/(x+1)= 2/2001`
`⇒ x+1=2001`
`⇒ x= 2000`
b)
$A=\frac{2n+5}{3n+1}$ là số tự nhiên khi $2n+5$ ⋮ $3n+1$
$⇒6n+15$ ⋮ $3n+1$
$⇒(6n+2)+13$ ⋮ $3n+1$
$⇒2.(3n+1)+13$ ⋮ $3n+1$
$⇒13$ ⋮ $3n+1$
$⇒3n+1∈Ư(13)=\{±1;±13\}$
Vì $n∈N⇒n∈\{0;4\}$
Đáp án:
`a, n = 2000`
`b, n ∈ { 0 ; 4 }`
Giải thích các bước giải:
`A, 1/3 + 1/6 + 1/10 + … + 2/(n(n + 1)) = 1999/2001`
`⇒ 2/6 + 2/12 + 2/20 + … + 2/(n(n + 1)) = 1999/2001`
`⇒ 2 . (1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/(n(n + 1))) = 1999/2001`
`⇒ 2 . (1/(2.3) + 1/(3.4) + 1/(4.5) + … + 1/(n(n + 1))) = 1999/2001`
`⇒ 2 . (1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + … + 1/n – 1/(n + 1)) = 1999/2001`
`⇒ 2 . (1/2 – 1/(n + 1)) = 1999/2001`
`⇒ 1/2 – 1/(n + 1) = 1999/2001 : 2`
`⇒ 1/2 – 1/(n + 1) = 1999/2001 . 1/2`
`⇒ 1/2 – 1/(n + 1) = 1999/4002`
`⇒ 1/(n + 1) = 1/2 – 1999/4002`
`⇒ 1/(n + 1) = 2001/4002 – 1999/4002`
`⇒ 1/(n + 1) = 1/2001`
`⇒ n + 1 = 2001`
`⇒ n = 2001 – 1`
`⇒ n = 2000`
Vậy `n = 2000`
`B,` Để `A = (2n + 5)/(3n + 1) ∈ N`
`⇒ 2n + 5` $\vdots$ `3n + 1`
Mà $\left\{ \begin{array}{l}3(2n + 5) \vdots 3n + 1\\2(3n + 1) \vdots 3n + 1\end{array} \right.$
`⇒ 3(2n + 5) – 2(3n + 1)` $\vdots$ `3n + 1`
`⇒ 6n + 15 – 6n – 2` $\vdots$ `3n + 1`
`⇒ 13` $\vdots$ `3n + 1` `(n ∈ N)`
`⇒ 3n + 1 ∈ Ư (13) = { 1 ; 13 }`
`⇒ n ∈ { 0 ; 4 }`
Vậy `n ∈ { 0 ; 4 }`