a) Tìm số tự nhiên x, y biết : x – 3 = (x + 2). y
b) Cho A = 1 + 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + . . . + $2^{60}$. Hãy chứng minh rằng A chia cho 3 và 7 đều dư 1
a) Tìm số tự nhiên x, y biết : x – 3 = (x + 2). y
b) Cho A = 1 + 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + . . . + $2^{60}$. Hãy chứng minh rằng A chia cho 3 và 7 đều dư 1
Đáp án:
a)$x= 3,y= 0$
Giải thích các bước giải:
a)
$x-3= \left ( x+2 \right )y$
$\Rightarrow \dfrac{x-3}{x+2}= \dfrac{x+2-5}{x+2}= 1-\dfrac{5}{x+2}$
$y\in N\Rightarrow 1-\dfrac{5}{x+2}\Rightarrow x= 3\Rightarrow y= 0$
b)
$A= 1+2+2^{2}+2^{3}+…2^{60}$
$\Rightarrow A-1= 2+2^{2}+2^{3}+…+2^{60}$
$= 2\left ( 1+2 \right )+2^{3}\left ( 1+2 \right )+…+2^{59}\left ( 1+2 \right )$
$= 3\left ( 2+2^{3}+…+2^{59} \right )$
$\Rightarrow \left ( A-1 \right )\vdots 3\Rightarrow A:3 $ dư $1$
$A-1=\left ( 2+2^{2}+2^{3} \right )+\left ( 2^{4}+2^{5}+2^{6} \right )+…+\left ( 2^{58}+2^{59}+2^{60}\right )$
$= 2\left ( 1+2+4 \right )+2^{4}\left ( 1+2+4 \right )+…+2^{58}\left ( 1+2+4 \right )$
$= 7\left ( 2+2^{4}+…+2^{58} \right )$
$\Rightarrow \left (A-1 \right )\vdots 7\Rightarrow A:7$ dư 1