ab trên a cộng b bằng bc trên b cộng c bằng ca trên c cộng a ( với giá trị các tỉ số đều có nghĩa )

`~rai~`

$\begin{array}{I}\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{a+c}\quad(a;b;c\ne 0)\\\Leftrightarrow 1:\dfrac{ab}{a+b}=1:\dfrac{bc}{b+c}=1:\dfrac{ca}{a+c}\\\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{c+a}{ca}\\\Leftrightarrow \dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{b}{cb}+\dfrac{c}{bc}=\dfrac{a}{ac}+\dfrac{c}{ca}\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\\+)\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{c}\\\Leftrightarrow a=c.(1)\\+)\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}\\\Leftrightarrow b=a.(2)\\\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow a=b=c.(a;b;c\ne 0) \end{array}$