ABCD là hình thang , AB // CD , hai đường chéo vuông góc với nhau . BD = 15 cm , đường cao AH = 12 cm . Tính $S_{ABCD}$ giúp mình vs ạ , m đang cần

Đáp án:

$S_{ABCD} = 150\, cm^2$

Giải thích các bước giải:

Từ $A$ kẻ $AE//BD$ cắt $CD$ tại $E$

Ta có: $AC\perp BD \, (gt)$

mà $AE//BD$ (cách dựng)

nên $AE\perp AC$

$\Rightarrow ΔAEC$ vuông tại $A$

Ta cũng có:

$CD//AB$

$\Rightarrow DE//AB \, (E\in CD)$

và $AE//BD$

$\Rightarrow ABDE$ là hình bình hành

$\Rightarrow AE= BD$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔAEC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AC^2} + \dfrac{1}{AE^2}$

$\Rightarrow  AC = \dfrac{AH.AE}{\sqrt{AE^2 – AH^2}} = \dfrac{AH.BD}{\sqrt{BD^2 – AH^2}} = \dfrac{15.12}{\sqrt{15^2 – 12^2}} = 20\, cm$

Ta được:

$S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}20.15 = 150\, cm^2$