Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm $\frac{4x^{2} }{ x^{4} +2x^{2}+1 }$ – $\frac{2(2m-1)x}{x^{2}+1}$ +$m^{2}$ -m-6=0

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có: $\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{(x+1)^2}{2(x^2+1)} \geq 0$

$⇒\dfrac{x}{x^2+1} \geq -\dfrac{1}{2}$

Đồng thời: $\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{(x-1)^2}{2(x^2+1)} \leq 0$

$⇒\dfrac{x}{x^2+1} \leq \dfrac{1}{2}$

$⇒-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{x}{x^2+1} \leq \dfrac{1}{2}$

Phương trình tương đương:

$4\left( \dfrac{x}{x^2+1}\right)^2-(2m-1)\left(\dfrac{x}{x^2+1} \right)+m^2-m-6=0$

Đặt $\dfrac{x}{x^2+1}=t ⇒-\dfrac{1}{2} \leq t \leq \dfrac{1}{2}$

$⇒4t^2-2(2m-1)t+m^2-m-6=0$

$⇔4t^2-2(m-3)t-2(m+2)t+(m+2)(m-3)=0$

$⇔2t(2t-m+3)-(m+2)(2t-m+3)=0$

$⇔(2t-m-2)(2t-m+3)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}t=\dfrac{m+2}{2}\\t=\dfrac{m-3}{2}\end{array} \right.$

Phương trình có ít nhất 1 nghiệm khi và chỉ khi:

$\left[ \begin{array}{l}-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{m+2}{2} \leq \dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{m-3}{2} \leq \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ $⇔\left[ \begin{array}{l}-1\leq m+2 \leq 1\\-1 \leq m-3 \leq 1\end{array} \right.$

$⇔\left[ \begin{array}{l}-3\leq m \leq -1\\2 \leq m \leq 4\end{array} \right.$