Xác định parapol (P) y= ax^2 +bx+c (a#0) biết (p) đi qua M (4;3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho tam giác INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ P bé hơn 3
Xác định parapol (P) y= ax^2 +bx+c (a#0) biết (p) đi qua M (4;3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho tam giác INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ P bé hơ
By Parker
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4;3)\) nên \(3 = 16a + 4b + c\) (1)
Mặt khác \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(N(3;0)\) suy ra \(0 = 9a + 3b + c\) (2), \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(P\) nên \(P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3\) Theo định lý Viét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 = - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\) Ta có \({S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP\) với \(H\) là hình chiếu của \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\) lên $PN$ hay trục hoành Do \(IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|\), \(NP = 3 - t\) nên \({S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}\) (3) Từ (1) và (2) ta có \(7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a\) suy ra \(t + 3 = - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0\) do $t<3$
Thay vào (3) ta có \({\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Suy ra $a = 1 \Rightarrow b = - 4 \Rightarrow c = 3$.
Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.