( ae đâu vào đây giúp mk với , vanh đây )
Cho dãy số : 10 ; $10^{2}$ ; $10^{3}$ ; $10^{4}$ ; … $10^{20}$
Chứng minh rằng trong dãy số trên tồn tại 1 số chia 19 dư 1
( ae đâu vào đây giúp mk với , vanh đây )
Cho dãy số : 10 ; $10^{2}$ ; $10^{3}$ ; $10^{4}$ ; … $10^{20}$
Chứng minh rằng trong dãy số trên tồn tại 1 số chia 19 dư 1
Dãy số 10 ; $10^{2}$ ; $10^{3}$ ; $10^{4}$ ; … ; $10^{20}$ có 20 số hạng
⇒ có ít nhất 2 số chia 19 có cùng số dư
đặt 2 số đó là $10^{a}$ ; $10^{b}$ ( 0 < a < b < 21 )
⇒ $10^{b}$ – $10^{a}$ chia hết 19
⇒ $10^{a}$ . ($10^{b-a}$ – 1) chia hết 19
⇒ $10^{b-a}$ chia hết 19 (ĐPCM)
Theo nguyên lí Di-rich-let trong 20 số tồn tại 2 số cùng số dư khi chia cho 19
Giả sử $10^{a}$ , $10^{b}$ là 2 số cùng số dư khi chia cho 19 ( 1≤a<b≤20)
$10^{b}$-$10^{a}$ chia hết cho 19
⇒ $10^{a}$*($10^{b-a}$-1) chia hết cho 19
Mà $10^{a}$ ko chia hết cho 19
⇒ $10^{b-a}$-1 chia hết cho 19
⇒ $10^{b-a}$-1 = 19k ( k∈N)
⇒ $10^{b-a}$=19k+1 (đpcm)