( anh mod truongtiennhat đâu rồi , vanhsura đây )
Bài 1:
a) Tìm x biết : (x-1/2009) + (x-2/2008) = (x-3/2007) + (x-4/2006)
b) Tính : G = 1+ ( 1+2 / 2) + ( 1+2+3 / 3) + ( 1+2+3+4 / 4) + … + ( 1+2+3+…+20 / 20)
Bài 2:
a) Tìm n∈ N để : 2016^n + 15 là số phương
b) Tìm x,y ∈ N biết : 7(x-2004)² = 23 – y²
c) Cho n số : x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; … ; xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1 . Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + … + xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4 .
Bài 3:
a) Tìm a,b,c ∈ N* thỏa mãn :
a³ + 3a² + 5 = 5^b và a+3 = 5^c
b) Tìm x,y ∈ N biết : 25 – y² = 8(x-2009)²
________
c) Tìm các số a,b sao cho : 2007ab là bình phương của 1 số tự nhiên .
`1/`
`a)“(x – 1)/2009 + (x – 2)/2008 = (x – 3)/2007 + (x – 4)/2006`
`⇔ (x – 1)/2009 – 1 + (x – 2)/2008 – 1 = (x – 3)/2007 – 1 + (x – 4)/2006 – 1`
`⇔ (x – 2010)/2009 + (x – 2010)/2008 = (x – 2010)/2007 + (x – 2010)/2006`
`⇔ (x – 2010) (1/2009 + 1/2008 – 2/2007 – 1/2006) = 0`
`⇔ x – 2010 = 0`
`⇔ x = 2010`
Bài 1:
a, $\frac{x-1}{2009}$+$\frac{x-2}{2008}$= $\frac{x-3}{2007}$+$\frac{x-4}{2006}$
⇔ $\frac{x-1}{2009}$-1+$\frac{x-2}{2008}$-1= $\frac{x-3}{2007}$-1+$\frac{x-4}{2006}$-1
⇔ $\frac{x-2010}{2009}$+$\frac{x-2010}{2008}$= $\frac{x-2010}{2007}$+$\frac{x-2010}{2006}$
⇔ $(x-2010)$.( $\frac{1}{2009}$+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2006}$)= 0
⇔ x-2010= 0
⇔ x= 2010
b, G= 1+$\frac{1+2}{2}$+ $\frac{1+2+3}{3}$+…+ $\frac{1+2+3+..+20}{20}$
= 1+$\frac{2.3:2}{2}$+ $\frac{3.4:2}{3}$+…+ $\frac{20.21:2}{20}$
= 1+$\frac{3}{2}$+ $\frac{4}{2}$+…+ $\frac{21}{2}$
= 1+$\frac{3+4+…+21}{2}$ = 1+$\frac{(21+3)( 21-3+1):2}{2}$
=1+114
= 115 ( Áp dụng quy tắc tính tổng của dãy cách đều)
Bài 2:
a, với n= 0 thì 1+15= 16 là số chính phương
Với n≥ 1 thì ta có: 15⋮ 3; $2016^{n}$⋮ 3
⇒ Số chính phương tạo thành chia hết cho 3
Đặt $2016^{n}$+15= k²
⇒ k² tận cùng là 9
Mà $2016^{n}$ tận cùng là 6
⇒ $2016^{n}$+15 tận cùng là 1
⇒ k² tận cùng là 1
⇒ không có k thỏa mãn
Vậy n= 0 thì $2016^{n}$+15 là scp
b, 7.( x-2004)²= 23-y²
⇒ 23-y²≥ 0
⇔ y²≤ 23
Mà 7.( x-2004)²⋮ 7
⇒ 23-y²⋮ 7
Mà 23 chia 7 dư 2
⇒ y² chia 7 dư 2
Mà y²≤ 23 và y∈ N ⇒ y²= 16
⇒ y= 4
Khi y= 4 thì 23-y²= 7
⇔ 7.( x-2004)²= 7
⇔ ( x-2004)²= 1
⇔ x-2004= 1⇔ x= 2005
hoặc x-2004= -1⇔ x= 2003
c, x1.x2+x2.x3+…+xn.x1= 0
⇒ Có n cặp ( do các số lặp lại 2 lần, nhưng 2 số lại ghép thành 1 cặp)
⇒ Có $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng 1
và có $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng -1
Với $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng 1 thì có 2 trường hợp:
+, Th1: $\frac{n}{4}$ số có giá trị bằng 1
+, Th2: $\frac{n}{4}$ số có giá trị bằng -1 ( $\frac{n}{4}$ số sẽ hợp lại thành 2 căp)
Mà số số hạng luôn là số tự nhiên ⇒ $\frac{n}{4}$ là số tự nhiên
⇒ n⋮ 4 ( đpcm)
Bài 3:
a, a³+3a²+5= $5^{b}$
⇔ a².( a+3)= 5.( $5^{b-1}$-1)
⇔ a².$5^{c}$= 5.( $5^{b-1}$-1)
⇔ a².$5^{c-1}$= $5^{b-1}$-1
Th1: Ta có: a².$5^{c-1}$⋮ 5
⇒ $5^{b-1}$-1⋮ 5
⇒ $5^{b-1}$= 1
⇒ b-1= 0
⇔ b= 1
⇒ $5^{b-1}$-1= 0
⇒ a².$5^{c-1}$= 0
⇒ a²= 0
⇔ a= 0
⇒ không thỏa mãn c
Th2: b≥ 1
⇒ $5^{c-1}$= 1
⇒ c-1= 0
⇒ c= 1
⇒ a= 5-3= 2
⇒ 2³+3.2²+5= $5^{b}$
⇒ b= 2
b, ( Tương tự câu 2b)
c, 2007ab= k²
Ta có: 200700≤ 2007ab≤ 200799
⇔ 447,99≤ k≤ 448,1
⇒ k= 448
⇒ 2007ab= k²= 200704
⇒ a= 0; b= 4