áp dụng bđt svac-xơ,chứng minh:$a^{4}$ + $b^{4}$ $\geq$ $\frac{(a+b)^4}{8}$ biết:a,b ∈ R 07/09/2021 Bởi Ayla áp dụng bđt svac-xơ,chứng minh:$a^{4}$ + $b^{4}$ $\geq$ $\frac{(a+b)^4}{8}$ biết:a,b ∈ R
Giải thích các bước giải: Ta có: $a^4+b^4$ $=\dfrac{\left(a^2\right)^2}{1}+\dfrac{\left(b^2\right)^2}{1}$ $\ge \dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{1+1}$ $\ge \dfrac{\left(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}\right)^2}{2}$ $\ge \dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{1+1}\right)^2}{2}$ $\ge\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}$ $\to đpcm$ Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta được: $a^4 + b^4 = \dfrac{(a^2)^2}{1} + \dfrac{(b^2)^2}{1} \geqslant \dfrac{(a^2 + b^2)^2}{2}$ $\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{\left[\dfrac{(a+b)^2}{2}\right]^2}{2}$ $\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{\dfrac{(a+b)^4}{4}}{2}$ $\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{(a+b)^4}{8}$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$a^4+b^4$
$=\dfrac{\left(a^2\right)^2}{1}+\dfrac{\left(b^2\right)^2}{1}$
$\ge \dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{1+1}$
$\ge \dfrac{\left(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}\right)^2}{2}$
$\ge \dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{1+1}\right)^2}{2}$
$\ge\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}$
$\to đpcm$
Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta được:
$a^4 + b^4 = \dfrac{(a^2)^2}{1} + \dfrac{(b^2)^2}{1} \geqslant \dfrac{(a^2 + b^2)^2}{2}$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{\left[\dfrac{(a+b)^2}{2}\right]^2}{2}$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{\dfrac{(a+b)^4}{4}}{2}$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{(a+b)^4}{8}$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b$