Đáp án : `B=2/3^2+2/5^2+2/7^2+…+2/(2011^2)<(1005)/(2012)` Giải thích các bước giải : `B=2/3^2+2/5^2+2/7^2+…+2/(2011^2)` Ta có công thức : `+)a/(n(n+a))=1/n-1/(n+a)` `+)n^2<n^2-1=(n-1)(n+1)` Thay vào `B,` ta được : `B<2/[(3-1)(3+1)]+2/[(5-1)(5+1)]+2/[(7-1)(7+1)]+…+2/[(2011-1)(2011+1)]` `<=>B<2/(2×4)+2/(4×6)+2/(6×8)+…+2/(2010×2012)` `<=>B<1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+…+1/(2010)-1/(2012)` `<=>B<1/2-1/(2012)` `<=>B<(2012)/(2×2012)-2/(2×2012)` `<=>B<(2012-2)/(2×2012)` `<=>B<(2010)/(2×2012)` `<=>B<(2×1005)/(2×2012)` `<=>B<(1005)/(2012)` Vậy `B=2/3^2+2/5^2+2/7^2+…+2/(2011^2)<(1005)/(2012)` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có $: n² > n² – 1 = (n – 1)(n + 1)$ với mọi $n ∈ N^{*}$ $ ⇒ \dfrac{2}{n²} < \dfrac{2}{(n – 1)(n + 1)} = \dfrac{(n + 1) – (n – 1)}{(n – 1)(n + 1)} $ $ = \dfrac{1}{n – 1} – \dfrac{1}{n + 1} (*)$ Áp dụng $(*)$ với $; = 3; 5;7;…; 2011$ ta có: $ \dfrac{2}{3²} < \dfrac{1}{3 – 1} – \dfrac{1}{3 + 1} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} $ $ \dfrac{2}{5²} < \dfrac{1}{5 – 1} – \dfrac{1}{5 + 1} = \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{2}{7²} < \dfrac{1}{7 – 1} – \dfrac{1}{7 + 1} = \dfrac{1}{6} – \dfrac{1}{8} $ $……………………………………$ $ \dfrac{2}{2011²} < \dfrac{1}{2011 – 1} – \dfrac{1}{2011 + 1} = \dfrac{1}{2010} – \dfrac{1}{2012} $ Cộng tất cả lại vế theo vế: $ \dfrac{2}{3²} + \dfrac{2}{5²} + \dfrac{2}{7²} +….+ \dfrac{2}{2011²} $ $ < (\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{6}) + ….+(\dfrac{1}{2010} – \dfrac{1}{2012} )$ $ = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2012} = \dfrac{2012 – 2}{2.2012} = \dfrac{1005}{2012} (đpcm)$ Bình luận
Đáp án :
`B=2/3^2+2/5^2+2/7^2+…+2/(2011^2)<(1005)/(2012)`
Giải thích các bước giải :
`B=2/3^2+2/5^2+2/7^2+…+2/(2011^2)`
Ta có công thức :
`+)a/(n(n+a))=1/n-1/(n+a)`
`+)n^2<n^2-1=(n-1)(n+1)`
Thay vào `B,` ta được :
`B<2/[(3-1)(3+1)]+2/[(5-1)(5+1)]+2/[(7-1)(7+1)]+…+2/[(2011-1)(2011+1)]`
`<=>B<2/(2×4)+2/(4×6)+2/(6×8)+…+2/(2010×2012)`
`<=>B<1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+…+1/(2010)-1/(2012)`
`<=>B<1/2-1/(2012)`
`<=>B<(2012)/(2×2012)-2/(2×2012)`
`<=>B<(2012-2)/(2×2012)`
`<=>B<(2010)/(2×2012)`
`<=>B<(2×1005)/(2×2012)`
`<=>B<(1005)/(2012)`
Vậy `B=2/3^2+2/5^2+2/7^2+…+2/(2011^2)<(1005)/(2012)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có $: n² > n² – 1 = (n – 1)(n + 1)$ với mọi $n ∈ N^{*}$
$ ⇒ \dfrac{2}{n²} < \dfrac{2}{(n – 1)(n + 1)} = \dfrac{(n + 1) – (n – 1)}{(n – 1)(n + 1)} $
$ = \dfrac{1}{n – 1} – \dfrac{1}{n + 1} (*)$
Áp dụng $(*)$ với $; = 3; 5;7;…; 2011$ ta có:
$ \dfrac{2}{3²} < \dfrac{1}{3 – 1} – \dfrac{1}{3 + 1} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} $
$ \dfrac{2}{5²} < \dfrac{1}{5 – 1} – \dfrac{1}{5 + 1} = \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{6} $
$ \dfrac{2}{7²} < \dfrac{1}{7 – 1} – \dfrac{1}{7 + 1} = \dfrac{1}{6} – \dfrac{1}{8} $
$……………………………………$
$ \dfrac{2}{2011²} < \dfrac{1}{2011 – 1} – \dfrac{1}{2011 + 1} = \dfrac{1}{2010} – \dfrac{1}{2012} $
Cộng tất cả lại vế theo vế:
$ \dfrac{2}{3²} + \dfrac{2}{5²} + \dfrac{2}{7²} +….+ \dfrac{2}{2011²} $
$ < (\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{6}) + ….+(\dfrac{1}{2010} – \dfrac{1}{2012} )$
$ = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2012} = \dfrac{2012 – 2}{2.2012} = \dfrac{1005}{2012} (đpcm)$