B1: Tính giá trị của biểu thức:
(√28 – 2√14 + √7) × √7 + 7√8
B2: Thực hiện phép tính:
(1/2√5 – √3 + 1/2√5 + √3) ÷ √3 +1/17
B3: Cho biểu thức:
A=(1+ √a/a+1) ÷ (1/√a-1 – 2√a/ a√a+ √a-a-1)
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Tính giá trị của biểu thức A khi a=4+2√3
c/ Tìm giá trị của a để A>1
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
1,\\
\left( {\sqrt {28} – 2\sqrt {14} + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + 7\sqrt 8 \\
= \left( {\sqrt {{2^2}.7} – 2.\sqrt {2.7} + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + 7\sqrt 8 \\
= \left( {2\sqrt 7 – 2.\sqrt {2.7} + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + 7\sqrt {{2^2}.2} \\
= \left( {3\sqrt 7 – 2\sqrt {2.7} } \right).\sqrt 7 + 7.2\sqrt 2 \\
= 3{\sqrt 7 ^2} – 2.\sqrt 2 .{\sqrt 7 ^2} + 14\sqrt 2 \\
= 21 – 14\sqrt 2 + 14\sqrt 2 \\
= 21\\
2,\\
\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt 5 – \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 5 + \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{17}}\\
= \dfrac{{\left( {2\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + \left( {2\sqrt 5 – \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2\sqrt 5 – \sqrt 3 } \right)\left( {2\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}:\dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{17}}\\
= \dfrac{{4\sqrt 5 }}{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}:\dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{17}}\\
= \dfrac{{4\sqrt 5 }}{{20 – 3}}.\dfrac{{17}}{{\sqrt 3 + 1}}\\
= \dfrac{{4\sqrt 5 }}{{17}}.\dfrac{{17}}{{\sqrt 3 + 1}}\\
= \dfrac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + 1}}\\
3,\\
a,\\
A = \left( {1 + \dfrac{{\sqrt a }}{{a + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a – 1}} – \dfrac{{2\sqrt a }}{{a\sqrt a + \sqrt a – a – 1}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \begin{array}{l}
a \ge 0\\
a \ne 1
\end{array} \right)\\
= \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{a + 1}}:\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a – 1}} – \dfrac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {a + 1} \right) – \left( {a + 1} \right)}}} \right)\\
= \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{a + 1}}:\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a – 1}} – \dfrac{{2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}} \right)\\
= \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{a + 1}}:\dfrac{{\left( {a + 1} \right) – 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{a + 1}}:\dfrac{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right).\left( {a + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{a + 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a – 1}}\\
b,\\
a = 4 + 2\sqrt 3 = 3 + 2\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}\\
\Rightarrow \sqrt a = \sqrt 3 + 1\\
A = \dfrac{{\left( {4 + 2\sqrt 3 } \right) + \left( {\sqrt 3 + 1} \right) + 1}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right) – 1}} = \dfrac{{6 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 3 + 2\sqrt 3 \\
c,\\
A > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a – 1}} > 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a – 1}} – 1 > 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {a + \sqrt a + 1} \right) – \left( {\sqrt a – 1} \right)}}{{\sqrt a – 1}} > 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{a + 2}}{{\sqrt a – 1}} > 0\\
\Leftrightarrow \sqrt a – 1 > 0\\
\Leftrightarrow \sqrt a > 1\\
\Leftrightarrow a > 1
\end{array}\)