Bài 1: Cho ΔABC nhọn, 2 đường cao BH và CK. Chứng minh: a) S ΔAHK = S ΔABC . cos ²A b) S tứ giác BCHK = S ΔABC . sin ²A

a) Xét $∆AHB$ và $∆AKC$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{H} = \widehat{K} = 90^o$

Do đó $∆AHB \sim ∆AKC \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AK} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AK}{AC}$

Xét $∆AHK$ và $∆ABC$ có:

$\widehat{BAC}:$ góc chung

$\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AK}{AC}$ $(cmt)$

Do đó $∆AHK\sim ∆ABC \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AHK}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{AH}{AB}\right)^2 = \cos^2A$

$\Rightarrow S_{AHK} = S_{ABC}.\cos^2A$

b) Ta có: $S_{BKHC} = S_{ABC} – S_{AHK}$

$= S_{ABC} – S_{ABC}.\cos^2A$

$= S_{ABC}(1 – \cos^2A)$

$= S_{ABC}.\sin^2A$