Bài 1: Chứng minh rằng: $a^2-b^2-c^2+2bc>0$, với $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 2: Chứng minh đẳng thức: $(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+b^5) = a^6-b^6$
Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ thì $a=b=c$
Bài 1: Chứng minh rằng: $a^2-b^2-c^2+2bc>0$, với $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 2: Chứng minh đẳng thức: $(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+b^5) = a^6-b^6$
Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ thì $a=b=c$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`1,a^2-b^2-c^2+2bc>0`
`<=>a^2-(b^2-2bc+c^2)>0`
`<=>a^2-(b-c)^2>0`
`<=>(a+b-c)(a-b+c)>0(@)`
Áp dụng BĐT tam giác:
`=>a+b>c,a+c>b`
`=>a+b-c>0,a+c-b>0`
`=>(@)` được chứng minh.
`=>` ĐPCM.
`2,(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)`
`=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5-a^5b-a^4b^2-a^3b^3-a^2b^4-ab^5-b^6`
`=a^6-b^6`
`3,a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c(ĐPCM)`
Bài 1:
Ta có: $a^2-b^2-c^2+2bc$
$=a^2-(b^2-2bc+c^2)$
$=a^2-(b-c)^2$
$=(a-b+c)(a+b-c)$
Mà $\begin{cases}a+c>b\\a+b>c\end{cases}⇔\begin{cases}a+c-b>0\\a+b-c>0\end{cases}$ (vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của Δ)
Vậy $(a+c-b)(a+b-c)>0$. Do đó $a^2-b^2-c^2+2bc>0$
Bài 2:
Ta có: $(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+b^5)=a^6-b^6$
$VT=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+qb^5-a^5b-a^4b^2-a^4b^3-a^2b^4-ab^5-b^6$
$=a^6-b^6=VP$
Bài 3:
Ta có: $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$
$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca$
$⇔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0$
$⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
$⇔\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}⇔a=b=c$
$\color{red}{\text{Chúc bạn học tốt!}}$