Bài 1:Chứng minh rằng không có số chính phương nào chia 3 dư 2 Bài 2:Tìm n để n^2+15 là số chính phương

Giải thích các bước giải:

 1. Với các số chia hết cho 3: nó có dạng x=3k

=> x²=9k² chia hết cho 3

Với các số không chia hết cho 3: 

-Nếu nó chia 3 dư 1, có dạng: 3k+1

=> x²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 chia 3 dư 1

-Nếu nó chia 3 dư 2, có dạng: 3k+2

=> x²=(3k+2)²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1 chia 3 dư 1

=> không có số chính phương nào chia 3 dư 2(đpcm)

2. Đặt ${n^2} + 15 = {a^2}$ với a là số nguyên 

Khi đó: $\begin{array}{l} {n^2} – {a^2} = -15\\  \Leftrightarrow (n-a)(a + n) = -15 \end{array}$

Vì a và n đều là số nguyên

=> a+n và n-a là những số nguyên

=> a+n và n-a là nghiệm nguyên của 15

Xét vcác trưòng hợp:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a = 3\\ n – a =  – 5 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n =  – 1\\ a = 4 \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a = 1\\ n – a =  – 15 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n =  – 7\\ a = 8 \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a =  – 1\\ n – a = 15 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 7\\ a =  – 8 \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a =  – 3\\ n – a = 5 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 1\\ a =  – 4 \end{array} \right. \end{array}$

Thử lại có 4 giá trị đều thoả mãn