Bài 1 : CMR : `\frac{1}{5} + \frac{1}{13} + \frac{1}{25} + … + \frac{1}{n^2 + ( n+1)^2} < \frac{1}{2}` với mọi `n \in N`
Bài 1 : CMR : `\frac{1}{5} + \frac{1}{13} + \frac{1}{25} + … + \frac{1}{n^2 + ( n+1)^2} < \frac{1}{2}` với mọi `n \in N`
By Rose
By Rose
Bài 1 : CMR : `\frac{1}{5} + \frac{1}{13} + \frac{1}{25} + … + \frac{1}{n^2 + ( n+1)^2} < \frac{1}{2}` với mọi `n \in N`
ta có $\frac{1 }{n mũ 2 +(n+1)}$ < $\frac{1}{2n+(n+1)}$
thay vào bài toán ta có
$\frac{1}{5 }$ +$\frac{1}{13}$+…….+$\frac{1 }{n mũ 2 +(n+1)}$
=$\frac{1 }{1mũ 2 +(1+1)}$+$\frac{1 }{2 mũ 2 +(2+1)}$+……….+$\frac{1 }{n mũ 2 +(n+1)}$<$\frac{1}{2.1.2}$+$\frac{1}{2.2.3}$+…………….+ $\frac{1}{2n+(n+1)}$
=$\frac{1}{2}$ .($\frac{1}{1.2}$ +……+$\frac{1}{n+(n+1)}$
= $\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{2.(n+1)}$< $\frac{1}{2}$
cho 5 sao + câu trả lời hay nha
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt vế trái của biểu thức cần chứng minh là S
Ta có:
$n^2+(n+1)^2=n^2+n^2+2n+1>2n^2+2n=2n(n+1)$
$⇒\dfrac{1}{n^2+(n+1)^2}<\dfrac{1}{2n(n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)$
Do đó:
$S<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right)+…+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)$
$⇔S<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+…+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)$
$⇔S<\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1} \right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2(n+1)}<\dfrac{1}{2}$
Vậy $S<\dfrac{1}{2}$ (đpcm)