Bài 1: Xét tính đồng biến của hàm số
a, y=$\frac{3}{x}$ đồng biến trên khoảng từ âm vô cực đến 0 và từ khoảng 0 đến dương vô cùng.
b, y=-$x^{2}$ +2x đồng biến trên khoảng từ âm vô cực đến 1 và từ khoảng 1 đến dương vô cùng.
c, y=$\sqrt{x-1}$ đồng biến trên [1;dương vô cùng)
a) $TXĐ: D = (-\infty;0)\cup (0;\infty)$
Chọn $x_2, x_1 \in D \,\,(x_2 \ne x_1)$
Xét $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = \dfrac{\dfrac{3}{x_2} – \dfrac{3}{x_1}}{x_2 -x_1}$
$= \dfrac{3(x_1 – x_2)}{x_1x_2(x_2 -x_1)} = -\dfrac{3}{x_1x_2}$
$\forall x_2; x_1 \in D$ ta có: $x_2x_1 >0$
$\Rightarrow -\dfrac{3}{x_1x_2} < 0$
Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} < 0$
$\Rightarrow y$ nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$
b) $TXĐ: D = R$
Chọn $x_2, x_1 \in D \,\,(x_2 \ne x_1)$
Xét $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = \dfrac{(-x_2^2 + 2x_2) – (-x_1^2 + 2x_1)}{x_2 – x_1}$
$= \dfrac{-(x_2 – x_1)(x_2 + x_1) + 2(x_2 – x_1)}{x_2 -x_1}$
$= 2 – (x_1 + x_2)$
Với $x_2, x_1 \in (-\infty;1)$
$\Rightarrow x_1 + x_2 < 2$
$\Rightarrow 2 – (x_1 + x_2) > 0$
Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} > 0$
$\Rightarrow y$ đồng biến trên $(-\infty;1)$
Với $x_2, x_1 \in (1;+\infty)$
$\Rightarrow x_1 +x_2 > 2$
$\Rightarrow 2 – (x_1 + x_2) < 0$
Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} < 0$
$\Rightarrow y$ nghịch biến trên $(1; +\infty)$
c) $TXĐ: D = [1; +\infty)$
Chọn $x_2, x_1 \in D \,\,(x_2 \ne x_1)$
Xét $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = \dfrac{\sqrt{x_2 – 1} – \sqrt{x_1 – 1}}{x_2 – x_1}$
$=\dfrac{(x_2 -1) – (x_1 -1)}{(x_2 – x_1)(\sqrt{x_2 – 1} + \sqrt{x_1 – 1})}$
$= \dfrac{x_2 – x_1}{(x_2 – x_1)(\sqrt{x_2 – 1} + \sqrt{x_1 – 1})}$
$= \dfrac{1}{\sqrt{x_2 – 1} + \sqrt{x_1 – 1}}$
Với $x_2, x_1 \in [1;+\infty)$
$\Rightarrow \sqrt{x_2 – 1} + \sqrt{x_1 – 1} > 0$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x_2 – 1} + \sqrt{x_1 – 1}} > 0$
Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} > 0$
$\Rightarrow y$ đồng biến trên $[1;+\infty)$