Bài 1 : Tìm n ∈ N sao cho 1010…………..101 ( n chữ số 0 , n+ 1 chữ số 1 xen kẽ nhau ) là số nguyên tố
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu 2 số tự nhiên m, n thỏa mãn : 3m – 3n = 1 thì ( m, n ) = 1
Bài 3 : Chứng minh rằng x, y ∈ N , 3x – y + 1 ; 2x + 3y – 1 đều chia cho 7 thì x , y : 7 dư 3
Bài 4 : Tìm a, b ∈ N* , biết
BCNN ( a, b ) + UCLN ( a,b ) = 14
Bài 5: Biết 5n + 6 và 8n+ 7 là hai số nguyên tố cùng nhau . Tìm UCLN ( 13n + 13 và 3n + 1 )
Bài 6 : Cho a, b ∈ N* ; a ≥ 2 , b ≥ 2 . Chứng minh ab ≥ a + b
Bài 7 : Chứng minh R số 95^ 8 có 16 chữ số ; 2 ^ 100 có 31 chữ số ( khi viết trong hệ thập phân )
Bài 8 : Tìm x,y ∈ N ; x, y > 1 sao cho : x + 1 chia hết cho y ; y + 1 chia hết cho x
Bài 9 : Cho A = – 9 – 99 – 999 – …………………. – 99……9( có 2019 chữ số )
bài 8
Vì x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 nên giả sử 1 < x ≤ y.
+) Ta có x + 1 ⋮ y => x + 1 = ky (k ∈ N*)
=> ky = x + 1 ≤ y + 1 < y + y = 2y
=> ky < 2y
=> k < 2, mà k ∈ N* nên suy ra: k = 1 là thỏa mãn.
=> x + 1 = y
+) Ta có: y + 1 ⋮ x
=> x + 1 + 1 ⋮ x
=> x + 2 ⋮ x, mà x ⋮ x nên: 2 ⋮ x
=> x ∈ {1; 2}
TH1: Với x = 1 => y = 1 + 1 = 2 (Thỏa mãn)
TH2: Với x = 2 => y = 1 + 2 = 3 (Thỏa mãn).
Đ/s: (x, y) ∈ {(1, 2); (2, 3); (2, 1); (3, 2)}.
Giải thích các bước giải:
Bài 2:
Gọi $(m,n)=d, d\in N*$
$\rightarrow\begin{cases}m\quad\vdots\quad d\\ n\quad \vdots\quad d\end{cases}$
$\rightarrow 3m-3n\quad\vdots\quad d$
$\rightarrow 1\quad\vdots\quad d$
$\rightarrow d=1$
$\rightarrow (m,n)=1$