Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n – 1)n(n + 1)

Đáp án:

Bài 1 :

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 – 0.1.2
   a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 – 1.2.3
   a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 – 2.3.4
   …………………..
   a_n-1 = (n – 1)n → 3a_n-1 =3(n – 1)n → 3a_n-1 = (n – 1)n(n + 1) – (n – 2)(n – 1)n
   a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

⇒ 3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

⇒ 3[1.2+2.3+ … + n( n + 1 ) ] = n( n + 1 ) ( n + 2 )

⇒ A = $\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$ 

Bài 2 :

Ta có :

4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n – 1)n(n + 1).4

= 1.2.3.4 – 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + … + (n – 1)n(n + 1)(n + 2) – [(n – 2)(n – 1)n(n + 1)]

= (n – 1)n(n + 1)(n + 2) – 0.1.2.3 = (n – 1)n(n + 1)(n + 2)

⇒  B = $\frac{(n – 1)n(n + 1)(n + 2)}{4}$