Bài 1: Với các số `a,b,c>0` thoả mãn `a+b+c=1` Chứng minh `frac{a}{1+9b^2}+frac{b}{1+9c^2}+frac{c}{1+9a^2}\geq1/2` Bài 2: Tìm GTNN của `A=frac{x+3\sq

0 bình luận về “Bài 1: Với các số `a,b,c>0` thoả mãn `a+b+c=1` Chứng minh `frac{a}{1+9b^2}+frac{b}{1+9c^2}+frac{c}{1+9a^2}\geq1/2` Bài 2: Tìm GTNN của `A=frac{x+3\sq”

1. Đáp án:

    1. Kí hiệu : `∑ab = ab + bc + ca`

   Ta có

   `VT = ∑ a/(1 + 9b^2) = ∑a – ∑ (9ab^2)/(1 + 9b^2) = 1 – ∑ (9ab^2)/(1 + 9b^2)`

   Áp dụng BĐT Cô si ta có

   `1 + 9b^2 ≥ 2\sqrt{1 . 9b^2} = 6b`

   `-> (9ab^2)/(1 + 9b^2) ≤ (9ab^2)/(6b) = (3ab)/2`

   `-> VT ≥ 1 – ∑ (3ab)/2 = 1 – (3∑ab)/2`

   Áp dụng BĐT quen thuộc `3∑ab ≤ (∑a)^2`

   `-> VT ≥  1 – (∑a)^2/2 = 1 – 1^2/2 = 1/2 = VP (đpcm)`

   Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1/3`

   Bài 2 : ` ĐK : x ≥ 2`

   Đặt `\sqrt{x – 2} = a (a >= 0)`

   Ta có

   `A = (x + 3\sqrt{x – 2})/(x + 4\sqrt{x – 2} + 1) = (x – 2 + 3\sqrt{x – 2} + 2)/(x – 2 + 4\sqrt{x – 2} + 3)`

   `= (a^2 + 3a + 2)/(a^2 + 4a + 3) = [(a + 1)(a + 2)]/[(a + 1)(a + 3)] = (a + 2)/(a + 3) = 1 – 1/(a + 3)`

   Do `a >= 0 -> a + 3 >= 3 -> 1/(a + 3) <= 1/3 -> 1 – 1/(a + 3) >= 1 – 1/3 = 2/3`

   Dấu “=” xảy ra `<=> a = 0 <=> \sqrt{x – 2} = 0 <=> x = 2`

   Vậy $Min_{A}$ `= 2/3 <=> x = 2`

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời