Bài 11:Cho đa thức F(x) = 1+x+$x^{2}$+$x^{3}$+…+$x^{201}$ ; G(x)=-x-$x^{3}$-$x^{5}$ -…-$x^{201}$
a)Chứng tỏ x = -1 là nghiệm của F(x)
b)Đặt H(x)=F(x)+G(x). Tình H(2)
Bài 11:Cho đa thức F(x) = 1+x+$x^{2}$+$x^{3}$+…+$x^{201}$ ; G(x)=-x-$x^{3}$-$x^{5}$ -…-$x^{201}$
a)Chứng tỏ x = -1 là nghiệm của F(x)
b)Đặt H(x)=F(x)+G(x). Tình H(2)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Với x=-1, ta luôn có: $x^{n}+x^{n+1}=0$ với mọi n thuộc Z
Suy ra, ta có:
$F(x)=1+x+x^2+x^3+…+x^{201}\\=1+(x+x^2)+(x^3+x^4)+…+(x^{99}+x^{200})+x^{201}$
Suy ra, với x=-1, ta có:
$F(-1)=1+x^{201}\\=1+(-1)\\=0$
Vậy, x=-1 là nghiệm của F(x)
b) Ta có:
$H(x)=F(x)+G(x)\\=1+x+x^2+x^3+…+x^{201}+(-x-x^3-x^5-…-x^{201})\\=1+x^2+x^4+x^6+…+x^{200}$
Ta có:
$x^2\times H(x)=x^2+x^4+x^6+x^8+…+x^{202}\\\Rightarrow x^2\times H(x)-H(x)=x^{202}-1=(x^2-1)H(x)\\\Leftrightarrow H(x)=\cfrac{x^{202}-1}{x^2-1}\\\Rightarrow H(2)=\cfrac{2^{202}-1}{3}$