Bài 2: a)CMR:(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1 là số chính phương với mọi x thuộc tập hợp số tự nhiên. b) cho các số thực dương a, b thoả mãn: a^2012 + b^2012

Đáp án:

2. Ta có :

Đặt `x + 2 = t`

`=> A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1`

`= t(t + 1)(t + 2)(t + 3)+ 1`

`A = t(t + 1)(t + 2)(t + 3) + 1`

`= [t(t + 3)].[(t + 1)(t + 2)] + 1`

`= (t^2 + 3t)(t^2 + t + 2t + 2) + 1`

`= (t^2 + 3t)(t^2 + 3t + 2) + 1`

`= (t^2 + 3t)(t^2 + 3t) + 2(t^2 + 3t) + 1`

`= (t^2 + 3t + 1)^2`

`=> đpcm`

 b, Ta có : 

`(a^{2012} + b^{2012})ab`

` = a^{2013}b + b^{2013}a` `(1)`

`(a^{2013} + b^{2013})(a + b)`

` = a^{2014} + b^{2013}a + a^{2013}b + b^{2014}` `(2)`

Lấy (2) – (1) ta được 

`(a^{2013} + b^{2013})(a + b) – (a^{2012} + b^{2012})ab`

`= a^{2014} + b^{2013}a + a^{2013}b + b^{2014} – a^{2013}b + b^{2013}a`

`= a^{2014} + b^{2014}`

`=> (a^{2013} + b^{2013})(a + b) – (a^{2012} + b^{2012})ab = a^{2014} + b^{2014}`

Thay `a^2012 + b^2012 = a^2013 + b^2013 = a^2014 + b^2014`

`=> (a^{2014} + b^{2014})(a + b) – (a^{2014} + b^{2014})ab = a^{2014} + b^{2014}`

`=> (a^{2014} + b^{2014})(a + b) – (a^{2014} + b^{2014})ab –  a^{2014} + b^{2014} = 0`

`=> (a^{2014} + b^{2014})(a + b – ab – 1) = 0`

Do `a , b` là số thực dương

`=> a + b – ab – 1 = 0`

`<=> a(1 – b) – (1 – b) = 0`

`<=> (a – 1)(1 – b) = 0`

<=> \(\left[ \begin{array}{l}a – 1 = 0\\b – 1 = 0\end{array} \right.\) 

<=> \(\left[ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\) 

Kết hợp với `GT`

`=> a = b = 1`

`=> P = ( a + b – 1)^{2013} + b^{2014}`

`= (1 + 1 – 1)^{2013} + 1^{2014}`

`= 1 + 1`

`= 2`

Giải thích các bước giải:

 

Trả lời