Bài 2: a)CMR:(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1 là số chính phương với mọi x thuộc tập hợp số tự nhiên.
b) cho các số thực dương a, b thoả mãn: a^2012 + b^2012 = a^2013 + b^2013 = a^2014 + b^2014
Tính giá trị của biểu thức: P = ( a + b – 1)^2013 + b^2014
Bài 2: a)CMR:(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1 là số chính phương với mọi x thuộc tập hợp số tự nhiên.
b) cho các số thực dương a, b thoả mãn: a^2012 + b^2012 = a^2013 + b^2013 = a^2014 + b^2014
Tính giá trị của biểu thức: P = ( a + b – 1)^2013 + b^2014
Đáp án:
2. Ta có :
Đặt `x + 2 = t`
`=> A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1`
`= t(t + 1)(t + 2)(t + 3)+ 1`
`A = t(t + 1)(t + 2)(t + 3) + 1`
`= [t(t + 3)].[(t + 1)(t + 2)] + 1`
`= (t^2 + 3t)(t^2 + t + 2t + 2) + 1`
`= (t^2 + 3t)(t^2 + 3t + 2) + 1`
`= (t^2 + 3t)(t^2 + 3t) + 2(t^2 + 3t) + 1`
`= (t^2 + 3t + 1)^2`
`=> đpcm`
b, Ta có :
`(a^{2012} + b^{2012})ab`
` = a^{2013}b + b^{2013}a` `(1)`
`(a^{2013} + b^{2013})(a + b)`
` = a^{2014} + b^{2013}a + a^{2013}b + b^{2014}` `(2)`
Lấy (2) – (1) ta được
`(a^{2013} + b^{2013})(a + b) – (a^{2012} + b^{2012})ab`
`= a^{2014} + b^{2013}a + a^{2013}b + b^{2014} – a^{2013}b + b^{2013}a`
`= a^{2014} + b^{2014}`
`=> (a^{2013} + b^{2013})(a + b) – (a^{2012} + b^{2012})ab = a^{2014} + b^{2014}`
Thay `a^2012 + b^2012 = a^2013 + b^2013 = a^2014 + b^2014`
`=> (a^{2014} + b^{2014})(a + b) – (a^{2014} + b^{2014})ab = a^{2014} + b^{2014}`
`=> (a^{2014} + b^{2014})(a + b) – (a^{2014} + b^{2014})ab – a^{2014} + b^{2014} = 0`
`=> (a^{2014} + b^{2014})(a + b – ab – 1) = 0`
Do `a , b` là số thực dương
`=> a + b – ab – 1 = 0`
`<=> a(1 – b) – (1 – b) = 0`
`<=> (a – 1)(1 – b) = 0`
<=> \(\left[ \begin{array}{l}a – 1 = 0\\b – 1 = 0\end{array} \right.\)
<=> \(\left[ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)
Kết hợp với `GT`
`=> a = b = 1`
`=> P = ( a + b – 1)^{2013} + b^{2014}`
`= (1 + 1 – 1)^{2013} + 1^{2014}`
`= 1 + 1`
`= 2`
Giải thích các bước giải: