Bài 2. Cho hệ phương trình {3x-my=-9;mx+2y=16}
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Đáp án:
e) \(\left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = \dfrac{4}{7}
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
3x – my = – 9\\
mx + 2y = 16
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
6x – 2my = – 18\\
{m^2}x + 2my = 16m
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{m^2} + 6} \right)x = 16m – 18\\
mx + 2y = 16
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{16m – 18}}{{{m^2} + 6}}\\
y = \dfrac{{16 – mx}}{2} = \dfrac{{16 – m.\dfrac{{16m – 18}}{{{m^2} + 6}}}}{2}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{16m – 18}}{{{m^2} + 6}}\\
y = \dfrac{{16{m^2} + 96 – 16{m^2} + 18m}}{{2\left( {{m^2} + 6} \right)}} = \dfrac{{9m + 48}}{{{m^2} + 6}}
\end{array} \right.\\
a)Thay:m = 5\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{16.5 – 18}}{{{5^2} + 6}} = 2\\
y = \dfrac{{9.5 + 48}}{{{5^2} + 6}} = 3
\end{array} \right.\\
b)Do:{m^2} + 6 > 0\forall m\\
\to dpcm\\
c)Thay:x = \dfrac{{14}}{{10}} = \dfrac{7}{5}\\
Thay:y = \dfrac{{66}}{{10}} = \dfrac{{33}}{5}\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{7}{5} = \dfrac{{16m – 18}}{{{m^2} + 6}}\\
\dfrac{{33}}{5} = \dfrac{{9m + 48}}{{{m^2} + 6}}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
7{m^2} + 42 = 80m – 90\\
33{m^2} + 198 = 45m + 240
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{66}}{7}\\
m = 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = – \dfrac{7}{{11}}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to m = 2\\
d)Do:x > 0;y < 0\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{16m – 18}}{{{m^2} + 6}} > 0\\
\dfrac{{9m + 48}}{{{m^2} + 6}} < 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
16m – 18 > 0\\
9m + 48 < 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{{18}}{{16}}\\
m < – \dfrac{{48}}{9}
\end{array} \right.\left( {vô lý} \right)\\
\to m \in \emptyset \\
e)Do:x + y = 7\\
\to \dfrac{{16m – 18}}{{{m^2} + 6}} + \dfrac{{9m + 48}}{{{m^2} + 6}} = 7\\
\to 25m + 30 = 7{m^2} + 42\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = \dfrac{4}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)