Bài 2: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
a, 3n+1/5n+2
b, 12n+1/30n+2
c, n^3+2n/n^4+3n^2+1
d, 2n+1/2n^2-1
Bài 2: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
a, 3n+1/5n+2
b, 12n+1/30n+2
c, n^3+2n/n^4+3n^2+1
d, 2n+1/2n^2-1
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
gọi ` ƯCLN(3n+1;5n+2)` là ` d`
ta có \(\left[ \begin{array}{l}3n+1 \vdots d\\5n+2 \vdots d\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}15n+5\vdots d\\15n+6 \vdots d\end{array} \right.\)
` ( 15n+5 – 15n+6) \vdots d `
` d = ±1`
vậy ps đó tối giản
b) gọi ` ƯCLN(12n+1;30n+2)` là `d`
ta có :\(\left[ \begin{array}{l}12n+1\vdots d\\30n+2 \vdots d\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}60n+5\vdots d\\60n+4\vdots d\end{array} \right.\)
` ( 60n+5 – 60n+4) \vdots d `
` d = ±1 `
vậy ps đó tối giản
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)Gọi\,ƯC(3n + 1;5n + 2)\, = d\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3n + 1 \vdots d\\
5n + 2 \vdots d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5\left( {3n + 1} \right) \vdots d\\
3\left( {5n + 2} \right) \vdots d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15n + 5 \vdots d\\
15n + 6 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {15n + 6} \right) – \left( {15n + 5} \right) \vdots d\\
\Rightarrow 1 \vdots d\\
\Rightarrow d = 1\\
\Rightarrow ƯC\left( {3n + 1;5n + 2} \right) = 1\\
\Rightarrow \frac{{3n + 1}}{{5n + 2}}\,tối\,giản\forall n\\
b)Gọi\,ƯC\left( {12n + 1;30n + 2} \right) = m\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
12n + 1 \vdots m\\
30n + 2 \vdots m
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5\left( {12n + 1} \right) \vdots m\\
2\left( {30n + 2} \right) \vdots m
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
60n + 5 \vdots m\\
60n + 4 \vdots m
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {60n + 5} \right) – \left( {60n + 4} \right) \vdots m\\
\Rightarrow 1 \vdots m\\
\Rightarrow m = 1\\
\Rightarrow ƯC\left( {12n + 1;30n + 2} \right) = 1\\
\Rightarrow \frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\,tối\,giản
\end{array}$