Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) |x − 1| + 2012 b) (x – 2) ² – 2013 c) |x + 1| + |x + 2| 22/07/2021 Bởi Serenity Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) |x − 1| + 2012 b) (x – 2) ² – 2013 c) |x + 1| + |x + 2|
a,Ta có : |x-1|≥0 ⇒ |x-1|+2012 ≥2012 Dấu”=” xảy ra khi |x-1|=0 ⇔ x =1 Vậy GTNN của biểu thức trên là 2012 ⇔ x =1 b, Ta có : (x – 2) ²≥0 ⇒ (x – 2) ² – 2013 ≥ -2013 Dấu”=” xảy ra khi (x – 2) ²=0 ⇔ x=2 Vậy GTNN của biểu thức trên là -2013 ⇔ x=2 c, Áp dụng đẳng thức và bất đẳng thức: |A|=|-A| và |A|+|B|≥|A+B| Dấu”=” xảy ra khi A ,B ≥0 Ta có: |x + 1| + |x + 2| |x+1|+|2+x| ≥|x+1+2+x| =3 GTNN của biểu thức trên là 3 khi (x+1) .(2+x) ≥0 ⇔-1 ≤x ≤-2 Bình luận
Đáp án: `a,` Đặt `A = |x – 1| + 2012` Vì `|x – 1| ≥ 0∀x` `-> |x – 1| + 2012 ≥ 2012` `-> A ≥ 2012` `-> A_{min} = 2012` Dấu “`=`” xảy ra khi ` x – 1 = 0 ⇔ x = 1` Vậy `A_{min} = 2012 ⇔ x = 1` `b,` Đặt `B = (x – 2)^2 – 2013` Vì `(x – 2)^2 ≥0∀x` `-> (x – 2)^2 – 2013 ≥ 2013` `-> B ≥ 2013` `-> B_{min} = 2013` Dấu “`=`” xảy ra khi : `x – 2 = 0⇔x=2` Vậy `B_{min} = 2013 ⇔x=2` `c,` Đặt `C = |x + 1| + |x + 2|` `⇔ C = |x + 1| + |-x – 2|` Áp dụng BĐT `|a| + |b| ≥ |a + b|` có : `|x + 1| + |-x – 2| ≥ |x + 1 – x – 2| = |-1| = 1` `⇔ C_{min} = 1` Dấu “`=`” xảy ra khi : `(x + 1) (-x – 2) ≥ 0` Trường hợp `1` : `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}x+1≥0\\-x-2≤0\end{array} \right.\) `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}x≥-1\\x≤-2\end{array} \right.\) `⇔ -1 ≤ x ≤ -2` (Vô lí) Trường hợp `2` : `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}x+1≤0\\-x-2≥0\end{array} \right.\) `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}≤-1\\x≥-2\end{array} \right.\) `⇔ -2 ≤ x ≤ -1` Vậy `C_{min} = 1 ⇔ -2 ≤ x≤ -1` Bình luận
a,Ta có : |x-1|≥0 ⇒ |x-1|+2012 ≥2012
Dấu”=” xảy ra khi |x-1|=0 ⇔ x =1
Vậy GTNN của biểu thức trên là 2012 ⇔ x =1
b, Ta có : (x – 2) ²≥0 ⇒ (x – 2) ² – 2013 ≥ -2013
Dấu”=” xảy ra khi (x – 2) ²=0 ⇔ x=2
Vậy GTNN của biểu thức trên là -2013 ⇔ x=2
c, Áp dụng đẳng thức và bất đẳng thức:
|A|=|-A| và |A|+|B|≥|A+B|
Dấu”=” xảy ra khi A ,B ≥0
Ta có: |x + 1| + |x + 2|
|x+1|+|2+x| ≥|x+1+2+x| =3
GTNN của biểu thức trên là 3 khi (x+1) .(2+x) ≥0
⇔-1 ≤x ≤-2
Đáp án:
`a,`
Đặt `A = |x – 1| + 2012`
Vì `|x – 1| ≥ 0∀x`
`-> |x – 1| + 2012 ≥ 2012`
`-> A ≥ 2012`
`-> A_{min} = 2012`
Dấu “`=`” xảy ra khi
` x – 1 = 0 ⇔ x = 1`
Vậy `A_{min} = 2012 ⇔ x = 1`
`b,`
Đặt `B = (x – 2)^2 – 2013`
Vì `(x – 2)^2 ≥0∀x`
`-> (x – 2)^2 – 2013 ≥ 2013`
`-> B ≥ 2013`
`-> B_{min} = 2013`
Dấu “`=`” xảy ra khi :
`x – 2 = 0⇔x=2`
Vậy `B_{min} = 2013 ⇔x=2`
`c,`
Đặt `C = |x + 1| + |x + 2|`
`⇔ C = |x + 1| + |-x – 2|`
Áp dụng BĐT `|a| + |b| ≥ |a + b|` có :
`|x + 1| + |-x – 2| ≥ |x + 1 – x – 2| = |-1| = 1`
`⇔ C_{min} = 1`
Dấu “`=`” xảy ra khi :
`(x + 1) (-x – 2) ≥ 0`
Trường hợp `1` :
`⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}x+1≥0\\-x-2≤0\end{array} \right.\) `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}x≥-1\\x≤-2\end{array} \right.\)
`⇔ -1 ≤ x ≤ -2` (Vô lí)
Trường hợp `2` :
`⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}x+1≤0\\-x-2≥0\end{array} \right.\) `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}≤-1\\x≥-2\end{array} \right.\)
`⇔ -2 ≤ x ≤ -1`
Vậy `C_{min} = 1 ⇔ -2 ≤ x≤ -1`