Bài 22: Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A(0; 1); B(1; 3).
a) Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c) Viết phương trình đường thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d) Chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho CD = 2.
Gọi phương trình AB có dạng y=ax+b.y=ax+b.
Khi đó: {0a+b=1a+b=3⇔{a=2b=1
Vậy phương trình đường thẳng AB là: y=2x+1
b) Đường thẳng d song song với AB có dạng: y=2x+b(b≠1)
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: x2=2x+b
⇔x2−2x−b=0(∗)
Có Δ′=1+b.
Đường thẳng d tiếp xúc với (P)
⇔Δ′=0⇔1+b=0
⇔b=−1(tm)
Vậy đường thẳng d: y=2x–1
c) Gọi phương trình đường thẳng d’ cần lập có dạng: y=mx+n
Theo đề bài ta có:
d′⊥d
⇔2.m=−1
⇔m=−12
⇒d′:y=−12x+n
Phương trình hoành độ giao điểm của d’ và (P) là:
Có Δ=1+16n.
Đường thẳng d’ tiếp xúc với (P) ⇔(∗)có nghiệm kép
⇔Δ=0⇔1+16n=0⇔n=−116.
Vậy đường thẳng d’ cần tìm là: y=−12x−116.