Bài 3:Cho 4 điểm A,B,C,D bất kì.
a) CM: vectơ DA.vectơ BC+vectơ DB.vectơ CA+vectơ DC.vectơ AB=vectơ 0
b) Từ đó suy ra một cách CM định lí:”Ba đường cao trong tam giác đồng qui”
Bài 4: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD,BE,CF.Chứng minh:
vectơ BC.AD+vectơ CA.BE+vectơ AB.CF = 0
Mong mấy bạn giúp đỡ
Bài 3: a)
$\begin{array}{l} \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DC} .(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {DA} )\\ = \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DB} – \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} \\ = \overrightarrow 0 \end{array}$
(đpcm)
b)
Xét tam giác $ABC$
Gọi $BD$ và $CE$ là đường cao của tam giác $ABC$
Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE $
Theo chứng minh câu a, ta có phương trình đúng sau, với 4 điểm $A,B,C,H$:
$\vec{HA}.\vec{BC}+\vec{HB}.\vec{CA}+\vec{DC}.\vec{AB}=\vec 0$
Vì BH ⊥ AC, CH ⊥ AB nên
$\vec{HB}.\vec{CA}=\vec 0$ và $\vec{HC}.\vec{AB}=\vec 0$
Do đó:
$\vec{HA}.\vec{BC}=\vec 0$
Suy ra: AH ⊥ BC
Vậy 3 đường cao đồng quy tại H.
Bài 4:
$\begin{array}{l} \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\\ \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )\\ \overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} ) \end{array}$
$\Rightarrow \begin{array}{l} \vec{BC}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\vec{BC}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\\ \vec{CA}\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\vec{CA}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )\\ \vec{AB}\overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}\vec{AB}(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} ) \end{array}$
Cộng vế với vế ta được:
$\vec{BC}.\vec{AD}+\vec{CA}.\vec{BE}+\vec{AB}.\vec{CF}$
$=\dfrac{1}{2}\vec{AB}(\vec{BC}+\vec{CB})+\dfrac{1}{2}\vec{CA}(\vec{BA}+\vec{AB})+\dfrac{1}{2}\vec{BC}(\vec{AC}+\vec{CA})$
$=\vec 0$
(đpcm)