Bài 3: Cho đường thẳng (d) : 2x + y – 4 = 0 và 2 điểm M(3 ; 3), N(–5 ; 19) trên mặt phẳng tọa độ. Hạ MK (d) và gọi P là điểm đối xứng của M qua (d). Tìm tọa độ của K và P. Tìm điểm A trên (d) sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Đáp án:
K(1;2) ;P (-1;1)
A(-3;10) giá trị nhỏ nhất $(AM+AN )_{min}=2\sqrt{85}$
Giải thích các bước giải:
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_{d}$=(2;1)
Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}_{d}$=(1;-2)
Dó đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng MK là $\overrightarrow{n}_{MK}$=$\overrightarrow{u}_{d}$=(1;-2)
Phương trình đường thẳng MK là 1(x-3)-2(y-3)=0 hoặc x-2y+3=0
Toạ đọ diểm K là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
\\ x-2y+3=0
\\ 2x+y-4=0
\end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình trên ta được (x;y)=(1;2). Do đó K(1;2)
Vì P đối xứng với M qua K nên K là trung điểm của MP.
Và Toạ độ điểm P thoả mãn:
$\left\{\begin{matrix}
\\ x_{P}=1.2-3=-1
\\ y_{P}=2.2-3=1
\end{matrix}\right.$
Vậy P (-1;1)
AM+AN min :AM>0 và AN>0
Áp dụng bất đẳng thức cô- si : tổng của hai số là nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau:
Do dó AM+AN min khi và chỉ khi AM=AN
Do điểm A thuộc đường thẳng d nên: A(a;4-2a)
AM=AN $\Leftrightarrow AM^2=AN^2$
$\Leftrightarrow (a-3)^2+(1-2a)^2=(a+5)^2+(-15-2a)^2$
Giải phương trình trên ta được a=-3
Suy ra A(-3;10) giá trị nhỏ nhất $(AM+AN )_{min}=2\sqrt{85}$