Bài 3: Cho hệ phương trình (1) {x+my=m+1; mx+y=2m} Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P= x.y đạt giá trị lớn nhất. Tìm g

Giải thích các bước giải:

Ta có $mx+y=2m\to y=2m-mx$

Mà $x+my=m+1$

$\to x+m(2m-mx)=m+1$

$\to x+2m^2-m^2x=m+1$

$\to m^2x-x=2m^2-m-1$

$\to x(m^2-1)=(2m+1)(m-1)$

$\to x(m-1)(m+1)=(2m+1)(m-1)$

$\to$Để hệ có nghiệm duy nhất

$\to (m-1)(m+1)\ne 0\to m\ne \pm1$

$\to x=\dfrac{2m+1}{m+1}$

$\to y=\dfrac{m}{m+1}$

Lại có $P=xy$

$\to P=\dfrac{m(2m+1)}{(m+1)^2}$

$\to P(m+1)^2=m(2m+1)$

$\to P(m^2+2m+1)=2m^2+m$

$\to (P-2)m^2+m(2P-1)+P=0(*)$

Nếu $P\ne 2\to (*)$ là phương trình bậc $2$

$\to$Để $(*)$ có nghiệm

$\to\Delta \ge 0$

$\to (2P-1)^2-4(P-2)P\ge 0$

$\to 4P+1\ge 0$

$\to P\ge-\dfrac14$

$\to$Không tồn tại max $P$