Bài 3: Cho hệ phương trình (1) {x+my=m+1; mx+y=2m} Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P= x.y đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 3: Cho hệ phương trình (1) {x+my=m+1; mx+y=2m} Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P= x.y đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Đáp án:
vcvcvcvcv
Giải thích các bước giải:
Giải thích các bước giải:
Ta có $mx+y=2m\to y=2m-mx$
Mà $x+my=m+1$
$\to x+m(2m-mx)=m+1$
$\to x+2m^2-m^2x=m+1$
$\to m^2x-x=2m^2-m-1$
$\to x(m^2-1)=(2m+1)(m-1)$
$\to x(m-1)(m+1)=(2m+1)(m-1)$
$\to$Để hệ có nghiệm duy nhất
$\to (m-1)(m+1)\ne 0\to m\ne \pm1$
$\to x=\dfrac{2m+1}{m+1}$
$\to y=\dfrac{m}{m+1}$
Lại có $P=xy$
$\to P=\dfrac{m(2m+1)}{(m+1)^2}$
$\to P(m+1)^2=m(2m+1)$
$\to P(m^2+2m+1)=2m^2+m$
$\to (P-2)m^2+m(2P-1)+P=0(*)$
Nếu $P\ne 2\to (*)$ là phương trình bậc $2$
$\to$Để $(*)$ có nghiệm
$\to\Delta \ge 0$
$\to (2P-1)^2-4(P-2)P\ge 0$
$\to 4P+1\ge 0$
$\to P\ge-\dfrac14$
$\to$Không tồn tại max $P$