Bài 30: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện:
x.f(x – 2) = ( x^2 – 1).f(x) .
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm.
Bài 30: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện:
x.f(x – 2) = ( x^2 – 1).f(x) .
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm.
Giải thích các bước giải:
`+)` Tại `x=0` có:
`0f(-2)=(0^2-1).f(0)`
`=>0=-1f(0)`
`=>f(0)=0`
`=>x=0` là nghiệm của `f(x)`
`+)` Tại `x=1` có:
`f(-1)=(1^2-1).f(1)`
`=>f(-1)=0.f(1)`
`=>f(-1)=0`
`=>x=-1` là nghiệm của `f(x)`
`+)` Tại `x=-1` có:
`-f(-3)=[(-1)^2-1].f(-1)`
`=>-f(-3)=0.f(-1)`
`=>f(-3)=0`
`=>x=-3` là nghiệm của `f(x)`
Vậy đa thức `f(x)` có ít nhất `3` nghiệm.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)`
với `x` `=` `0` thì ta có:
`0` `.` `f(0-2)` `=` `(0^2-1)` `.` `f(0)`
`<=>` `0` `=` `-1` `.` `f(o)`
Vậy `0` là nghiệm của đa thức `x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)`
Với `x` `=` `2` thì ta có:
`2.f(2-2)` `=` `(2^2-1)` `.` `f(2)`
`2.f(o)` `=` `3` `.` `f(2)`
Vì `0` là nghiệm của đa thức `x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)`
`<=>` `2.f(0)` `=` `0`
`<=>` `3` `.` `f(2)` `=` `0`
Vậy `2` là nghiệm của đa thức `x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)`
Với `x` `=` `4` thì ta có:
`4.f(4-2)` `=` `(4^2-1)` `.` `f(4)`
`4.f(2)` `=` `15` `.` `f(4)`
Vì `2` là nghiệm của đa thức `x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)` nên:
`4.f(2)` `=` `0`
`<=>` `15` `.` `f(4)` `=` `0`
`<=>` `4` là nghiệm của đa thức `x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)`
Vậy đa thức x.f(x-2)` `=` `(x^2-1)` `.` `f(x)` có ít nhất `3` nghiệm là:
`0;2;4`
CHÚC BẠN HỌC TỐT