Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định ở ngoài (O). Vẽ qua A cát tuyến ABC (B nằm giữa A và C), AM, AN là các tiếp tuyến với (O) (M, N thuộc (O) và M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC có chứa O), gọi H là trung điểm của BC.
1) Chứng minh: AM^2 = AB.AC.
2) Chứng minh các điểm A, M, N, O, H cùng thuộc một đường tròn.
3) Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN ở E. Chứng minh EH // MC.
4) Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đường nào
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) $∠AMB = ∠ACM$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $=$ góc nội tiếp chắn dây cung đó) $⇒ΔABM ≈ ΔAMC (g.g)$ (vì chung $∠A$)
$⇒ \frac{AM}{AB} = \frac{AM}{AB} ⇒ AM² = AB.AC$
2) $∠AMO = ∠ANO = ∠AHO = 90^{0} ⇒ A; M; N; O; H $ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$
3) Theo câu $2) A; M; N; O; H $ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$
$ ⇒ ∠BHN = ∠AHN = ∠AMN = ∠BEN$ (đồng vị)
$ ⇒BEHN$ nội tiếp
$ ⇒ ∠BHE = ∠BNE = ∠BNM = ∠BCM ⇒ EH//MC$
4) Gọi $G$ là trọng tâm $ΔMBC$ mà $MH$ là trung tuyến $⇒ G∈MH; \frac{GM}{MH} = \frac{2}{3}$
Gọi $P∈MN; \frac{MP}{MN} = \frac{2}{3} ⇒ P$ cố định và $GP//HN (1)$
Gọi $Q∈MA; \frac{MQ}{MA} = \frac{2}{3} ⇒ Q$ cố định và $PQ//AN (2)$
Từ $(1); (2) ⇒ ∠MGN + ∠MQN = ∠MHN + ∠MAN = 180^{0}$ ( vì theo câu $2) MHNA$ nội tiếp $⇒ MGPQ$ nội tiếp $⇒ G$ chạy trên cung nhỏ $MP$ của đường tròn ngoại tiếp $ΔMPQ$ cố định xác định như trên