Bài 9: Cho các đa thức: P(x) = 3x^5 + 5x – 4x^4 – 2x^3 + 6 + 4x^2 ; Q(x) = 2x^4 – x + 3x^2 – 2x^3 + 1/4 – x^5
a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) + Q(x) ; P(x) – Q(x)
c) Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm của P(x) nhưng không phải là nghiệm của Q(x)
Đáp án:
\(\begin{array}{l}
b.P\left( x \right) + Q\left( x \right) = 2{x^5} – 2{x^4} – 4{x^3} + 7{x^2} + 4x + \dfrac{{25}}{4}\\
P\left( x \right) – Q\left( x \right) = 4{x^5} – 6{x^4} + {x^2} + 6x + \dfrac{{23}}{4}
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a.P(x) = 3{x^5} + 5x – 4{x^4} – 2{x^3} + 6 + 4{x^2}\\
= 3{x^5} – 4{x^4} – 2{x^3} + 4{x^2} + 5x + 6\\
Q(x) = 2{x^4} – x + 3{x^2} – 2{x^3} + \dfrac{1}{4} – {x^5}\\
= – {x^5} + 2{x^4} – 2{x^3} + 3{x^2} – x + \dfrac{1}{4}\\
b.P\left( x \right) + Q\left( x \right) = 3{x^5} – 4{x^4} – 2{x^3} + 4{x^2} + 5x + 6 – {x^5} + 2{x^4} – 2{x^3} + 3{x^2} – x + \dfrac{1}{4}\\
= 2{x^5} – 2{x^4} – 4{x^3} + 7{x^2} + 4x + \dfrac{{25}}{4}\\
P\left( x \right) – Q\left( x \right) = 3{x^5} – 4{x^4} – 2{x^3} + 4{x^2} + 5x + 6 + {x^5} – 2{x^4} + 2{x^3} – 3{x^2} + x – \dfrac{1}{4}\\
= 4{x^5} – 6{x^4} + {x^2} + 6x + \dfrac{{23}}{4}
\end{array}\)
c. Để x=-1 là nghiệm của P(x)
⇔ P(-1)=0
\(\begin{array}{l}
\to 3{\left( { – 1} \right)^5} – 4{\left( { – 1} \right)^4} – 2{\left( { – 1} \right)^3} + 4{\left( { – 1} \right)^2} + 5\left( { – 1} \right) + 6 = 0\\
\to – 3 – 4 + 2 + 4 – 5 + 6 = 0\\
\to 0 = 0\left( {ld} \right)
\end{array}\)
⇒ x=-1 là nghiệm của P(x)
Để x=-1 không là nghiệm của Q(x)
\(\begin{array}{l}
\to Q( – 1) \ne 0\\
\to – {\left( { – 1} \right)^5} + 2{\left( { – 1} \right)^4} – 2{\left( { – 1} \right)^3} + 3{\left( { – 1} \right)^2} – \left( { – 1} \right) + \dfrac{1}{4} \ne 0\\
\to 1 + 2 + 2 + 3 + 1 + \dfrac{1}{4} \ne 0\\
\to \dfrac{{37}}{4} \ne 0\left( {ld} \right)
\end{array}\)
⇒ x=-1 không là nghiệm của Q(x)